2024-01-16

別解

youtu.be
$\begin{multline} \sqrt{5x^2 - 8x + 5} + \sqrt{5x^2 - 18x + 18} \\ = \sqrt{5 \left( x - \frac45 \right)^2 + \frac95} + \sqrt{5 \left( x - \frac95 \right)^2 + \frac95} \\ = \sqrt{5} \left( \sqrt{\left( x - \frac45 \right)^2 + \left( \frac35 \right)^2} + \sqrt{\left( x - \frac95 \right)^2 + \left( \frac35 \right)^2} \right) \end{multline}$
と, それぞれの根号の中身を平方完成して $\sqrt{5}$ で括れば, 括弧の中身は座標平面上の点 $\left( \dfrac45, - \dfrac35 \right), (x, 0), \left( \dfrac95, \dfrac35 \right)$ を順に結んだ折れ線の長さになるので, 最小値は $x = \dfrac12 \left( \dfrac45 + \dfrac95 \right) = \dfrac{13}{10}$ のとき $\sqrt{1 + \left( \dfrac65 \right)^2} = \dfrac{\sqrt{61}}{5}.$ 最後にこれを $\sqrt{5}$ 倍すれば最終的な解答を得られる.

2023-12-18

どうしてもゴリ押ししたい人へ

youtu.be
どうしてもゴリ押しで計算したい人へ.
$\begin{eqnarray} 12 & = & 2^2 \cdot 3 \\ 20 & = & 2^2 \cdot 5 \\ 30 & = & 2 \cdot 3 \cdot 5 \\ 42 & = & 2 \cdot 3 \cdot 7 \\ 56 & = & 2^3 \cdot 7 \\ 72 & = & 2^3 \cdot 3^2 \end{eqnarray}$
なので, 通分すると分母は $2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7$ となるため
$\begin{align} & \frac{1}{12} + \frac{1}{20} + \frac{1}{30} + \frac{1}{42} + \frac{1}{56} + \frac{1}{72} \\ &= \frac{2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 + 2 \cdot 3^2 \cdot 7 + 2^2 \cdot 3 \cdot 7 + 2^2 \cdot 3 \cdot 5 + 3^2 \cdot 5 + 5 \cdot 7}{2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7} \\ &= \frac{210 + 126 + 84 + 60+ 45 + 35}{2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7} \\ &= \frac{560}{2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7} \\ &= \frac{2^4 \cdot 5 \cdot 7}{2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7} \\ &= \frac{2}{3^2} = \frac29. \end{align}$

2023-12-16

もう一つの別解

数学・解析

youtu.be
もう一つの別解をコメント欄で教えてもらったので紹介します。
$f(x) = (x^2 + 2x + 2)^2 + x^2 + 2x$
の両辺に $2$ を足すと
$f(x) + 2 = (x^2 + 2x + 2)^2 + x^2 + 2x + 2$
となるので, ここで $x^2 + 2x + 2$ を $A$ とでも置けば $A = (x + 1)^2 + 1 \geqq 1$ なので
$f(x) + 2 = A^2 + A \geqq 2$
が成り立ち, $f(x) + 2$ は $A = 1$ , すなわち $x = - 1$ のとき最小値 $2$ を取る.
従って $f(x)$ は $x = - 1$ のとき最小値 $0$ を取る.

最大・最小の概念は平行移動しても変わらないという性質を使えばこう解くこともできます.

もしかしたら作問者の意図もこれだったのかな, と想像しながら解くのは楽しいですね. コメントくださった方, ありがとうございました.

2023-12-14

別解

数学・解析

youtu.be
$x^2 + 2x = t$ と置いた場合の別解. $t = (x + 1)^2 - 1 \geqq - 1$ なので, $t \geqq - 1$ のときの
$g(t) = (t + 2)^2 + t$
の最小値を求めればよい.
$\begin{align} g(t) &= t^2 + 4t + 4 + t \\ &= t^2 + 5t + 4 \\ &= (t + 1)(t + 4) \end{align}$
なので、グラフは以下の通り.

これより明らかに $t = - 1$ のとき $0$ が最小値とわかる.

2023-11-23

もう少し簡単でした

youtu.be
参考にした元動画を確認したところ, $a, b$ は自然数(整数でも可?)であることを前提としていたようです.

そこまで頭が回りませんでした.

連立方程式
$\left\{\begin{array}{ccc} a^3 + 9ab^2 & = & 26 \\ 3a^2 b + 3b^3 & = & 15 \end{array}\right.$
が立つところまでは同じで, 第2式から $b(a^2 + b^2) = 5$ が分かるので $b = 1, a^2 + b^2 = 5$ が成り立ち, $\sqrt[3]{26 + 15\sqrt{3}} \gt 0$ から $a = 2$ が求まる. これが第1式を満たすので $a = 2, b = 1$ となる.

2023-09-25

【悲報】半角公式, いらなかった

数学・幾何

youtu.be

こちら, 元となった問題がこちら.

#math #trigonometry #Exams

hello guys :) pic.twitter.com/9qa7vAzDdU
— Taghi Behradfar (@TaghiBehradfar) 2023年9月23日

動画では半角公式を使いましたが, 下図のように角の二等分線を引くと $\tan \theta = \dfrac{\frac{2}{\sqrt{5}}}{2} = \dfrac{1}{\sqrt{5}}$ と求まる, とコメント欄で教えていただきました.

2023-09-19

コメント欄は宝箱

youtu.be

元ネタは鈴木貫太郎先生の動画からだったんですけど, コメント欄を見ると
$x \geq 1$ のときは $x^{16} - x + 1 = x(x^{15} - 1) + 1 \geq 1 \gt 0$ で $x \lt 1$ のときは $x - 1 \lt 0 \leq x^{16}$ だから簡単だ, みたいなコメントがあって「ほへー」ってなりました.