Red cat の数学よもやま話・新装開店

$\zeta(s)=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty n^{-s}$
は右辺は $\mathrm{Re}(s)\gt 1$ で収束するが, 以下のように変形することができる.
$\begin{align}\zeta(s)&=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty n^{-s}\\&=1+\displaystyle\sum_{n=1}^\infty (n+1)^{-s}\\&=1+\displaystyle\sum_{n=1}^\infty n^{-s}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{-s},\end{align}$
ここで二項定理により
$\left(1+\frac{1}{n}\right)^{-s}=\displaystyle\sum_{k=0}^\infty{-s \choose k}n^{-k}$ … (*)
であるから
$\zeta(s)=1+\displaystyle\sum_{n=1}^\infty n^{-s}\displaystyle\sum_{k=0}^\infty{-s \choose k}n^{-k}$
$=1+\displaystyle\sum_{k=0}^\infty{-s \choose k}\displaystyle\sum_{n=1}^\infty n^{-s-k}$ … (**)
$=1+\displaystyle\sum_{k=0}^\infty{-s \choose k}\zeta(s+k)$
$=1+\zeta(s)-s\zeta(s+1)+\displaystyle\sum_{k=2}^\infty{-s \choose k}\zeta(s+k)$
と変形できる. この両辺から $\zeta(s)$ を引いて $\zeta(s+1)$ について解くと
$\zeta(s+1)=\frac{1}{s}+\frac{1}{s}\displaystyle\sum_{k=2}^\infty{-s \choose k}\zeta(s+k),$
$s$ を $s-1$ に置き換えて
$\zeta(s)=\frac{1}{s-1}-\frac{1}{1-s}\displaystyle\sum_{k=2}^\infty{1-s \choose k}\zeta(s+k-1).$
ここで右辺に現れる $\zeta(s+k-1)$ は $\mathrm{Re}(s)\gt 2-k$ で定義されているから, 右辺全体は $\mathrm{Re}(s)\gt 0, s\ne 1$ で定義されている.

注意点としては

(*) が $n=1$ でも成り立つこと
(**) において総和の順序の交換ができること

を確認する必要がある.

参考書籍 : 黒川信重・小山信也「絶対数学」(日本評論社)

実数 $x$ について

$x$ が有理数で $x=p/q (q\gt 0)$ と既約分数表示できるとき $f(x)=1/q$
$x$ が無理数のとき $f(x)=0$

として関数 $f$ を定義すると

$f$ は有理数で不連続(有理数の稠密性から明らか)
$f$ は無理数で連続

になる. 実際, $x$ を無理数として $q$ を一つ定めると $(x-1,x+1)$ に含まれる $p/q$ の形の既約分数は有限個しかない. そこで任意の $\varepsilon\gt 0$ に対して $n\varepsilon\gt 1$ となる自然数 $n$ を取れば, $(x-1,x+1)$ に含まれる有理数で既約分数表示が $p/q, 0\lt q\leq n$ となるものは有限個しかない. よってそれらの中で $x$ に最も近いものが存在する. 具体的にはそのような有理数たちの全体を $A$ とするとき $\min\{|f(x)-f(r)|\ |\ r\in A\}$ が存在するということである. よってこの値より小さく $\delta$ をとるとき, $(x-\delta,x+\delta)$ に含まれる有理数を既約分数 $p/q$ の形に表したとき $q\gt n$ であるから
$|f(x)-f(p/q)|=1/q\lt 1/n\lt\varepsilon.$
一方 $y$ が無理数ならば $|f(x)-f(y)|=0$ である. 以上により $f$ の無理数での連続性が示された.