Red cat の数学よもやま話・新装開店

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2012-09-18から1日間の記事一覧

本当に難しい三次方程式の話(その 3・最終回)

お話の最後にちょっと面白い事実を紹介しよう. を の任意の元*1とするとき が成り立つことが確かめられる. 二次方程式のときと同じく根の順列が入れ替わり, しかもその入れ替わり方と に作用させる の元との因果関係がはっきりと見て取れる. 二次方程式のと…

本当に難しい三次方程式の話(その 2.5)

ちょっとおまけとして, 特殊な場合の三次方程式の Galois 群を考えてみよう. の場合 このとき は既約でないから の 上の最小多項式にはならない. 一般に最小多項式は であって は高々 3 次拡大である. したがって, の値によって Galois 群は ないし単位群に…

本当に難しい三次方程式の話(その 2)

さて, が生成するところの の部分群である 3 次交代群 は を(したがって も)動かさない. ということは は に対応する不変体であり, 拡大 の次数は の位数であるところの 3 に等しい. しかるに拡大 の次数は, となるのだが, あいにくと である. しかし と、 …

本当に難しい三次方程式の話(その 1)

何でたかが二次方程式をそこまで小難しくやったのかというと, 実は今日から数回にわたってお話する三次方程式の議論のための伏線でありました. だからここからが本題です.我々は Tschirnhaus 変換によって三次方程式は の形のものだけを考えればよいことがわ…