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Red cat の数学よもやま話・新装開店

はてなダイアリー「Red cat の数学よもやま話」から徐々にこちらに移行していきます。

Möbius 関数の Dirichlet 母関数(その 2)

いよいよ Dirichlet 母関数の話. から始まる系列 について を Dirichlet 母関数という.このとき, 二つの Dirichlet 母関数の積は, 系列のどのようなたたみ込みに相当するか調べると, であるから, というたたみ込みに相当していることがわかる.さて, Möbius …

母関数を用いた種々の技法(その 6)

について. 故 となる. 小さい について実際に計算すると となる.

母関数を用いた種々の技法(その 5)

前回の一般化.式 から始める. 両辺を で微分すると, 左辺は と書き換えられるので, が因子として現れる. 右辺の は分子が であり, これを で微分することになるので, 結果としては の微分は と の積となる. ここで は が非整数のときにも意味を持つことに注…

母関数を用いた種々の技法(その 4)

今回は, 少し天下り的ではあるが調和数 の母関数を求めてみたい. の両辺を について積分すると を得る*1. この両辺を で割ると となるから, の母関数は である. 次回, もう少し一般化したものを求める. *1:この式で とすることで, がわかる.

母関数を用いた種々の技法(その 3)

前回の続き. と置くと であるから がわかる. しかし, これは の閉じた式としてはあまり有用ではない. に着目すると という, もう少し有用な式が得られる.

母関数を用いた種々の技法(その 2)

は Fibonacci 数の漸化式である. ここで第 3 の式の両辺に を掛けて についての和を取ると となるが, であることから, とおくと となり, このことから が求まる. 級数展開すると となるので がわかるのだが, これだけではどうと言うこともないので, 次の記事…

母関数を用いた種々の技法(その 1)

なる漸化式を見たとき, 数学が得意な方であればこれが であることはすぐにわかると思う. しかし, ここでは母関数を用いた解法を紹介したい.上の式は一行で書くと となる. 系列 の指数母関数 を考えると 故, が求まる. 従って である.これは簡単な例であるが,…

Bernoulli 数の指数母関数

二つの系列 のそれぞれの指数母関数を とするとき, は系列 の指数母関数になる. これをたたみ込みと言う.さて, Bernoulli 数 を で定義する*1. を に置き換えて両辺に を加えると である. 系列 の指数母関数を とするとき, 上式の左辺は と定数系列 のたたみ…

コンパクト集合の共通部分がコンパクトでない例

に開集合系として を定めて位相空間とする. 開区間 とする. このとき とおくと は のコンパクト集合であるが, はコンパクトではない.

積分の変形

面白い問題見つけたので解いてみた. を示せ. って問題で, 「数学的帰納法を使われるのは気分が悪い」って言ってたから使わないでやってみた. ここで だから結論を得る.

ある級数の和(後編)

さて … (1) の両辺を 倍すると を得る. これを の級数展開を利用して分解すると となる. ここで の符号は「 を素因数分解したとき 型の素因数が偶数個ならプラス, 奇数個ならマイナス」で決定する. また, (1) の両辺を 倍すると を得るので, 同様に展開して …

ある級数の和(前編)

という級数を考える. この級数は無限積表示 を持つ. ここでこの無限積表示は奇素数 に対する すべてについての積であり, 複号のところは が 型ならプラス, 型ならマイナスとする.書き方を変えると である. とすれば … (1) である. 一方 zeta function の無限…

数学問題 bot の問題から

Twitter の数学問題 bot が出題する問題から一題拝借. をなめらかな関数とし, とおく. は の 階導関数. このとき を示せ, という問題であるが, これは のとき なので*1, この式で とおけばよい. *1:大雑把にしか計算してないがたぶん大丈夫

定積分の問題(これで最後のおまけの続き)

同じことであるが として を示す. とすれば は正則. 故に円周 を に取るとき に注意して の実部を取るために を計算すると であるから が示された.参考書籍 : 高木貞治「解析概論 改訂第三版」(岩波書店)解析概論 (1961年)作者: 高木貞治出版社/メーカー: 岩…

定積分の問題(おまけ)

が成り立つ. 以下証明.参考サイト http://suseum.jp/gq/question/745 とおくと は二次方程式 の解であるから を 倍して さらに とおくと で 故に であるから を示せばよいことになる. また続く.

定積分の問題(とりあえず結論)

の積分であるが, と置くと となる. これを について積分すると となるが, であったから となる. 求めるものはこれの 2 倍であったから となった.後日おまけを書きます.

定積分の問題(さらに続き)

の場合について考える. とおく. は で連続で も で連続であるから である.後程続きを書く.

定積分の問題(続き)

とおくと なので となって したがって がわかった. あとは を考える.

定積分の問題

が になるらしい. 解けたらまた記事書きます.追記 : とりあえず になることはわかった. とりあえず のときを何とか解決したい.

zeta function の解析接続

は右辺は で収束するが, 以下のように変形することができる. ここで二項定理により … (*) であるから と変形できる. この両辺から を引いて について解くと を に置き換えて ここで右辺に現れる は で定義されているから, 右辺全体は で定義されている.注意…

有名問題

実数 について が有理数で と既約分数表示できるとき が無理数のとき として関数 を定義すると は有理数で不連続(有理数の稠密性から明らか) は無理数で連続 になる. 実際, を無理数として を一つ定めると に含まれる の形の既約分数は有限個しかない. そこ…