Red cat の数学よもやま話・新装開店

はてなダイアリー「Red cat の数学よもやま話」から徐々にこちらに移行していきます。

10の5乗根(止め)

mathneko.hatenablog.com mathneko.hatenablog.com二項定理で上から止めを刺す.結局 だった.

円周率の評価

mathneko.hatenablog.comせっかく が分かったのでもう少し細かく(?)計算してみます.

10の5乗根のさらなる評価

mathneko.hatenablog.comTwitter でせっかくコメントをいただいたので, ちょっと詳しく. なので . 両辺の10乗根を取って . と から , すなわち がわかるので .

ヘンテコ指数方程式

英語が怪しい pic.twitter.com/BWrLMuIjqW— 圏論のあか☆ねこ (@math_neko) 2021年8月9日 方程式 を解け. ツイートの画像は英語が正しいか怪しいので日本語で書き直します(苦笑). とおくと なので, 方程式は と書き直せます. 両辺を5乗すれば となるので です…

固定ツイート問題の解答

多重根号を外せ! pic.twitter.com/fZNDDxmvRz— 圏論のあか☆ねこ (@math_neko) 2021年8月9日 立方根を外すときの常套手段で, とりあえず とおきます. はすぐにわかります. と変形して です. で, は実数ですから となります.したがって は二次方程式 の解で, …

固定ツイート問題の解答

この方程式、解けますか? pic.twitter.com/THABZhnWdi— 圏論のあか☆ねこ (@math_neko) 2021年8月7日 を解け. まず, 方程式 が解を持つ条件を調べてみます. とおくと です. 両辺を について微分して となるので となり, のとき最小値 となります. ですから, …

謝礼

mathneko.hatenablog.comこちらの記事に以下の通りご反応をいただきました.shaitan.hatenablog.comなるほど, うまい方法があるものです. 言及いただきありがとうございました.

無理方程式を解く

方程式 を解け. 一般的(?)な解き方は下記動画にて紹介されています.www.youtube.comここでは少し違うアプローチをしてみましょう. と置きます. このとき です. これを元の方程式に代入するととなり, 整理すると , すなわち という についての二次方程式を得…

Fleet 問題の解答

を(有理係数の範囲で)因数分解せよ. これは過去に数検1級の問題として出題されたものの変化バージョンです. *1この形のままだと何を因数に持つか分かりにくいので, 一旦 を掛けてみます.となります. ここで右辺は 1 の 3 乗根を根に持ちますが, 1 以外の 3 …

負けるな文系!東大入試を倒せ!

を示せ. うん, また君なんだ. 済まない.今回はちょっとした発想力で, 文系でも解ける解法を紹介します.

Fleet 問題の解答

を素因数分解せよ. これはかなり難しかったと思います.少し小さい数からあたりをつけて言って「二乗引く二乗」の形に持ち込めればしめたものですが, やってみましょう. なので, もう一声, と言ったところです. でようやく を超えました.が正解でした.8/14 追…

Fleet 問題の解答

Twitter の Fleet 機能が 8/3 をもって廃止されることになりましたね.そこで先日, Fleet 機能で以下のような問題を出しました. を素因数分解せよ. ではさっそく解いてみましょう.

オリンピック開幕記念?2021は素数か?

オリンピックの開会式まで10時間を切りましたね.今回はそれにちなんで, というわけではないですが, 「 は素数か」という問題を考えてみます. これまた, 先ほどの問題と同じく東大模試の誘導小問として出題されたものです.実はこれ, に気づいてしまうと(ちな…

あの有名問題を積分で解く

3年ぶりのブログ更新です.かつて東大の入試問題に「 を示せ」という問題が出題されたことは周知の事実かと思いますが, 通常は図形を使って示すのですが, 今回は積分を使って示してみたいと思います. のとき となることは良いと思います. と言っても, から ま…

楽しい圏論(その 18・最終回?)

最後に参考書を紹介するのを忘れていました。圏論の基本的なところはこちら(下は和訳本)。Categories for the working Mathematician : Saunders Mac Lane: (Graduate Texts in Mathematics) :Second Edition (English Edition)作者: Saunders Mac Lane発売…

楽しい圏論(その 17)

圏同型と圏同値 二つの圏 と について, 函手 と で となるものがあるとき と は圏同型であると言いますが, 圏同型はかなり強い条件です. そこで, これを少しゆるめて となるような自然同型があるとき, と は圏同値であると言います.条件を緩めることは圏論で…

楽しい圏論(その 16)

対象間の射と自然変換の関係 の対象は函手 とみなせますが, このとき から への自然変換とは, 射 のことに他なりません.以前, 自然変換の水平合成を定義していましたね. mathneko.hatenablog.comこれによれば, 函手 から への自然変換 における は と書くこ…

楽しい圏論(その 15)

最後に参考文献を挙げて終わりにしようかと思ったのですが、もう少し書きます。米田の補題を使うと, 自然同型 があれば対象としての同型 があることがわかるのですが、それを少し詳しく(米田の補題を使わずに)書きます.そもそも自然同型 とは各 に対する(集…

楽しい圏論(その 14)

トポスの定義 圏 がデカルト閉圏(cartesian closed category, CCC) であるとは, 以下の三つの函手が特定の右随伴を持つことを言います. これらの右随伴は ( は終対象) なので, CCC とは「終対象と(有限)積と冪が存在する圏」と言い換えることができます.圏 …

楽しい圏論(その 13)

極限は対角函手の右随伴である の極限を で表します. これは対角函手 から の対象である への普遍射でした. 従って全ての に対して極限が存在するならば函手 は の右随伴です.双対的に全ての に対して余極限 が存在すれば は の左随伴です. つまり という関…

楽しい圏論(その 12)

伏線回収回. 圏の積 「圏の積については後ほど一般的に定義します」と予告していましたので, ここで定義しておきます.「全ての圏からなる圏」というものを考えることができます. 二つの圏 の積とは, をこの「全ての圏からなる圏」の対象と見たときの積です. …

楽しい圏論(その 11)

ファイバー積 極限の特殊ケースをもう一つ. という圏を考えます. これは見た目の通り, 対象が の三つで, (恒等射以外の)射は の二つだけ定義されている圏です. このとき函手 の極限は次図のようになり, ファイバー積 と言われているものです.

楽しい圏論(その 10)

明けましておめでとうございます. 本年も当ブログをよろしくお願いいたします. 年の初めも圏論だよ ! 積は極限である 函手 を考えます( は離散圏). 対角函手 から への普遍射を とします. を自然変換とするとき, 次図が可換になるような射 が存在します. と…

楽しい圏論(その 9)

普遍射についてもう少し が左随伴 を持つとき, 双対的に は右随伴 を持つのでした.自然同型 において に対応する射を としましょう. このとき に対して, これに対応する を取れば, これが を満たすただ一つの射です.このときの が から への普遍射です. 極限…

楽しい圏論(その 8)

年忘れ圏論大会 ! (ぁ1 年半ぶりの記事の前に, ちょっとブログの今後の運用について.連載記事に関しては, 今書いている圏論の話が一段落したら終了とします. 今後はサイトを作ってそちらでまとめていく予定です. 今後は単発のトピックのみ取り扱っていきます…

楽しい圏論(その 7)

ある実例 を可換環とします. 集合 が与えられたとき, の元を基底とする自由 -加群が作れます. これを で表すことにします. すると函手 が作れます.一方, -加群 に対して, -加群であることを忘れてただの集合とみなす函手*1 が作れます. 射も -準同型であるこ…

楽しい圏論(その 6)

今回はいよいよ米田の補題を証明しますが, 少しだけ準備をします. 双対圏(再) 以前, 圏 の双対圏 を定義しましたが, 圏 における言明 は, 双対圏に写ることによって双対言明 に書き換えられます. であることを考えれば, 圏 における言明 が においては双対言…

楽しい圏論(その 5)

これまで, はクラスであると仮定してきました*1が, 実際にはより大きな圏も扱うことが多いです. したがって, 今後は特に断りがなければそのような圏も扱っているものと考えてください. また, そのような圏を扱っている場合でも, 集合論でよく使う記号( など)…

楽しい圏論(その 4)

今後, などは単に と書きます. また, 射や函手の合成記号は省いて などと書きます. 自然変換の垂直合成と函手圏 圏 から圏 への函手 と自然変換 が与えられたとき, 垂直合成(vertical composition) を で定義します.これが から への自然変換になっているこ…

楽しい圏論(その 3)

反変函手と双対圏 前回は函手を定義しましたが, もう一つ, 反変函手(contravariant functor)と言われるものがあります. が の恒等射ならば は の恒等射である. において が定義されているならば において が定義されており, である. 一つ目は通常の函手(共変…