Red cat の数学よもやま話・新装開店

はてなダイアリー「Red cat の数学よもやま話」から徐々にこちらに移行していきます。

本当に難しい三次方程式の話(その 3・最終回)

お話の最後にちょっと面白い事実を紹介しよう. を の任意の元*1とするとき が成り立つことが確かめられる. 二次方程式のときと同じく根の順列が入れ替わり, しかもその入れ替わり方と に作用させる の元との因果関係がはっきりと見て取れる. 二次方程式のと…

本当に難しい三次方程式の話(その 2.5)

ちょっとおまけとして, 特殊な場合の三次方程式の Galois 群を考えてみよう. の場合 このとき は既約でないから の 上の最小多項式にはならない. 一般に最小多項式は であって は高々 3 次拡大である. したがって, の値によって Galois 群は ないし単位群に…

本当に難しい三次方程式の話(その 2)

さて, が生成するところの の部分群である 3 次交代群 は を(したがって も)動かさない. ということは は に対応する不変体であり, 拡大 の次数は の位数であるところの 3 に等しい. しかるに拡大 の次数は, となるのだが, あいにくと である. しかし と、 …

本当に難しい三次方程式の話(その 1)

何でたかが二次方程式をそこまで小難しくやったのかというと, 実は今日から数回にわたってお話する三次方程式の議論のための伏線でありました. だからここからが本題です.我々は Tschirnhaus 変換によって三次方程式は の形のものだけを考えればよいことがわ…

小難しい二次方程式の話(その 3・最終回)

さて, を根とするような 係数のもっとも次数の低い方程式を考えてみよう. もうネタはほぼバレバレなので と書くことにする. すると を根とする 係数のもっとも次数の低い方程式は言うまでもなく である. そしてこの方程式は と を根に持つ. と は軛(くびき)…

小難しい二次方程式の話(その 2)

さて, 少々天下り感があるが, 係数の有理関数 を考えよう. すると簡単な計算で がわかるから とおける. そして と因数分解できるが は の元であるから は 上で因数分解できたことになる. すなわち は の分解体である ! (続く)

小難しい二次方程式の話(その 1)

先日紹介した「数学ガール/ガロア理論」でも述べられている通り, 代数方程式と体の拡大と対称群には深い関わりがある. そこで今回は二次方程式を例にとって, 敢えて中学生でも知っている二次方程式の解の公式を小難しく書いて大人チックな読み物にしてみよう…

12 の魅力

「数学ガール/ガロア理論」第 4 章において、1 の原始 12 乗根と円分多項式の話題が取り上げられている。読者の方の中には「何故 12 なのか ?」と思われた方がいるかもしれない。答は「12 が約数の数が豊富である」ことによる。たとえば 8 や 10 なら 12 よ…

定積分の問題(これで最後のおまけの続き)

同じことであるが として を示す. とすれば は正則. 故に円周 を に取るとき に注意して の実部を取るために を計算すると であるから が示された.参考書籍 : 高木貞治「解析概論 改訂第三版」(岩波書店)解析概論 (1961年)作者: 高木貞治出版社/メーカー: 岩…

定積分の問題(おまけ)

が成り立つ. 以下証明.参考サイト http://suseum.jp/gq/question/745 とおくと は二次方程式 の解であるから を 倍して さらに とおくと で 故に であるから を示せばよいことになる. また続く.

定積分の問題(とりあえず結論)

の積分であるが, と置くと となる. これを について積分すると となるが, であったから となる. 求めるものはこれの 2 倍であったから となった.後日おまけを書きます.

定積分の問題(さらに続き)

の場合について考える. とおく. は で連続で も で連続であるから である.後程続きを書く.

定積分の問題(続き)

とおくと なので となって したがって がわかった. あとは を考える.

定積分の問題

が になるらしい. 解けたらまた記事書きます.追記 : とりあえず になることはわかった. とりあえず のときを何とか解決したい.

zeta function の解析接続

は右辺は で収束するが, 以下のように変形することができる. ここで二項定理により … (*) であるから と変形できる. この両辺から を引いて について解くと を に置き換えて ここで右辺に現れる は で定義されているから, 右辺全体は で定義されている.注意…

有名問題

実数 について が有理数で と既約分数表示できるとき が無理数のとき として関数 を定義すると は有理数で不連続(有理数の稠密性から明らか) は無理数で連続 になる. 実際, を無理数として を一つ定めると に含まれる の形の既約分数は有限個しかない. そこ…