実数 について
として関数 を定義すると
になる. 実際, を無理数として を一つ定めると に含まれる の形の既約分数は有限個しかない. そこで任意の に対して となる自然数 を取れば, に含まれる有理数で既約分数表示が となるものは有限個しかない. よってそれらの中で に最も近いものが存在する. 具体的にはそのような有理数たちの全体を とするとき が存在するということである. よってこの値より小さく をとるとき, に含まれる有理数を既約分数 の形に表したとき であるから
一方 が無理数ならば である. 以上により の無理数での連続性が示された.
参考書籍
- 作者: 杉浦光夫
- 出版社/メーカー: 東京大学出版会
- 発売日: 1980/03/31
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