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Red cat の数学よもやま話・新装開店

はてなダイアリー「Red cat の数学よもやま話」から徐々にこちらに移行していきます。

有名問題

実数 {x} について

として関数 {f} を定義すると

になる. 実際, {x}無理数として {q} を一つ定めると {(x-1,x+1)} に含まれる {p/q} の形の既約分数は有限個しかない. そこで任意の {\varepsilon\gt 0} に対して {n\varepsilon\gt 1} となる自然数 {n} を取れば, {(x-1,x+1)} に含まれる有理数で既約分数表示が {p/q, 0\lt q\leq n} となるものは有限個しかない. よってそれらの中で {x} に最も近いものが存在する. 具体的にはそのような有理数たちの全体を {A} とするとき {\min\{|f(x)-f(r)|\ |\ r\in A\}} が存在するということである. よってこの値より小さく {\delta} をとるとき, {(x-\delta,x+\delta)} に含まれる有理数を既約分数 {p/q} の形に表したとき {q\gt n} であるから
{|f(x)-f(p/q)|=1/q\lt 1/n\lt\varepsilon.}
一方 {y}無理数ならば {|f(x)-f(y)|=0} である. 以上により {f}無理数での連続性が示された.

参考書籍

解析入門 (1)

解析入門 (1)