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Red cat の数学よもやま話・新装開店

はてなダイアリー「Red cat の数学よもやま話」から徐々にこちらに移行していきます。

zeta function の解析接続

{\displaystyle\zeta(s)=\sum_{n=1}^\infty n^{-s}}
は右辺は {\mathrm{Re}(s)\gt 1} で収束するが, 以下のように変形することができる.
{\begin{align}
\zeta(s)
&= \sum_{n=1}^\infty n^{-s} \\
&= 1+\sum_{n=1}^\infty (n+1)^{-s} \\
&= 1+\sum_{n=1}^\infty n^{-s}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{-s},
\end{align}}
ここで二項定理により
{\displaystyle\left(1+\frac{1}{n}\right)^{-s}=\sum_{k=0}^\infty{-s \choose k}n^{-k}} … (*)
であるから
{\begin{align}
\zeta(s)
&= 1+\sum_{n=1}^\infty n^{-s}\sum_{k=0}^\infty{-s \choose k}n^{-k} \\
&= 1+\sum_{k=0}^\infty{-s \choose k}\sum_{n=1}^\infty n^{-s-k} \cdots (**) \\
&= 1+\sum_{k=0}^\infty{-s \choose k}\zeta(s+k) \\
&= 1+\zeta(s)-s\zeta(s+1)+\sum_{k=2}^\infty{-s \choose k}\zeta(s+k)
\end{align}}
と変形できる. この両辺から {\zeta(s)} を引いて {\zeta(s+1)} について解くと
{\displaystyle\zeta(s+1)=\frac{1}{s}+\frac{1}{s}\sum_{k=2}^\infty{-s \choose k}\zeta(s+k),}
{s}{s-1} に置き換えて
{\displaystyle\zeta(s)=\frac{1}{s-1}-\frac{1}{1-s}\sum_{k=2}^\infty{1-s \choose k}\zeta(s+k-1).}
ここで右辺に現れる {\zeta(s+k-1)}{\mathrm{Re}(s)\gt 2-k} で定義されているから, 右辺全体は {\mathrm{Re}(s)\gt 0, s\ne 1} で定義されている.

注意点としては

  • (*) が {n=1} でも成り立つこと
  • (**) において総和の順序の交換ができること

を確認する必要がある.

参考書籍

絶対数学

絶対数学