zeta function の解析接続 - Red cat の数学よもやま話・新装開店

${\displaystyle\zeta(s)=\sum_{n=1}^\infty n^{-s}}$
は右辺は ${\mathrm{Re}(s)\gt 1}$ で収束するが, 以下のように変形することができる.
${\begin{align} \zeta(s) &= \sum_{n=1}^\infty n^{-s} \\ &= 1+\sum_{n=1}^\infty (n+1)^{-s} \\ &= 1+\sum_{n=1}^\infty n^{-s}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{-s}, \end{align}}$
ここで二項定理により
${\displaystyle\left(1+\frac{1}{n}\right)^{-s}=\sum_{k=0}^\infty{-s \choose k}n^{-k}}$ … (*)
であるから
${\begin{align} \zeta(s) &= 1+\sum_{n=1}^\infty n^{-s}\sum_{k=0}^\infty{-s \choose k}n^{-k} \\ &= 1+\sum_{k=0}^\infty{-s \choose k}\sum_{n=1}^\infty n^{-s-k} \cdots (**) \\ &= 1+\sum_{k=0}^\infty{-s \choose k}\zeta(s+k) \\ &= 1+\zeta(s)-s\zeta(s+1)+\sum_{k=2}^\infty{-s \choose k}\zeta(s+k) \end{align}}$
と変形できる. この両辺から ${\zeta(s)}$ を引いて ${\zeta(s+1)}$ について解くと
${\displaystyle\zeta(s+1)=\frac{1}{s}+\frac{1}{s}\sum_{k=2}^\infty{-s \choose k}\zeta(s+k),}$
${s}$ を ${s-1}$ に置き換えて
${\displaystyle\zeta(s)=\frac{1}{s-1}-\frac{1}{1-s}\sum_{k=2}^\infty{1-s \choose k}\zeta(s+k-1).}$
ここで右辺に現れる ${\zeta(s+k-1)}$ は ${\mathrm{Re}(s)\gt 2-k}$ で定義されているから, 右辺全体は ${\mathrm{Re}(s)\gt 0, s\ne 1}$ で定義されている.