Red cat の数学よもやま話・新装開店

はてなダイアリー「Red cat の数学よもやま話」から徐々にこちらに移行していきます。

2012-07-11

定積分の問題(続き)

$I=\int_0^{\pi}\log(1-\cos x)dx$
とおくと
$I=\int_0^{\pi}\log(1+\cos x)dx$
なので
$2I=\int_0^{\pi}\log(\sin^2 x)dx=2\int_0^{\pi}\log(\sin x)dx$
となって
$I=\int_0^{\pi}\log(\sin x)dx=2\int_0^{\frac{\pi}{2}}\log(\sin x)dx=-\pi\log 2,$
したがって
${\displaystyle\int_0^{2\pi}\log(1-\cos x)dx=-2\pi\log 2}$
がわかった. あとは ${a\gt 1}$ を考える.