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Red cat の数学よもやま話・新装開店

はてなダイアリー「Red cat の数学よもやま話」から徐々にこちらに移行していきます。

定積分の問題(続き)

{\displaystyle I=\int_0^{\pi}\log(1-\cos x)dx}
とおくと
{\displaystyle I=\int_0^{\pi}\log(1+\cos x)dx}
なので
{\displaystyle 2I=\int_0^{\pi}\log(\sin^2 x)dx=2\int_0^{\pi}\log(\sin x)dx}
となって
{\displaystyle I=\int_0^{\pi}\log(\sin x)dx=2\int_0^{\frac{\pi}{2}}\log(\sin x)dx=-\pi\log 2,}
したがって
{\displaystyle\int_0^{2\pi}\log(1-\cos x)dx=-2\pi\log 2}
がわかった. あとは {a\gt 1} を考える.