定積分の問題(おまけ) - Red cat の数学よもやま話・新装開店

${\displaystyle\int_0^\pi\log(a+b\cos x)dx=\pi\log\frac{a+\sqrt{a^2-b^2}}{2}\quad (a\gt|b|)}$
が成り立つ. 以下証明.

${\alpha=a+\sqrt{a^2-b^2}}$ とおくと ${\alpha}$ は二次方程式
${x^2-2ax+b^2=0}$
の解であるから
${2a\alpha=\alpha^2+b^2.}$
${a+b\cos x}$ を ${2\alpha}$ 倍して
${2\alpha(a+b\cos x)=2a\alpha+2b\alpha\cos x=\alpha^2+2b\alpha\cos x+b^2.}$
さらに ${r=\frac{b}{\alpha}}$ とおくと ${|r|\lt 1}$ で
$a+b\cos x=\frac{1}{2\alpha}(\alpha^2+2b\alpha\cos x+b^2)=\frac{\alpha}{2}(1+2r\cos x+r^2).$
故に
${\begin{align} \int_0^\pi\log(a+b\cos x)dx &= \int_0^\pi\log\left\{\frac{\alpha}{2}(1+2r\cos x+r^2)\right\}dx \\ &= \int_0^\pi\log\frac{\alpha}{2}dx+\int_0^\pi(1+2r\cos x+r^2)dx \\ &= \pi\log\frac{a+\sqrt{a^2-b^2}}{2}+\int_0^\pi(1+2r\cos x+r^2)dx \end{align}}$
であるから
${\displaystyle\int_0^\pi(1+2r\cos x+r^2)dx=0\quad (|r|\lt 1)}$
を示せばよいことになる. また続く.