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Red cat の数学よもやま話・新装開店

はてなダイアリー「Red cat の数学よもやま話」から徐々にこちらに移行していきます。

定積分の問題(おまけ)

{\displaystyle\int_0^\pi\log(a+b\cos x)dx=\pi\log\frac{a+\sqrt{a^2-b^2}}{2}\quad (a\gt|b|)}
が成り立つ. 以下証明.

参考サイト
http://suseum.jp/gq/question/745

{\alpha=a+\sqrt{a^2-b^2}} とおくと {\alpha}二次方程式
{x^2-2ax+b^2=0}
の解であるから
{2a\alpha=\alpha^2+b^2.}
{a+b\cos x}{2\alpha} 倍して
{2\alpha(a+b\cos x)=2a\alpha+2b\alpha\cos x=\alpha^2+2b\alpha\cos x+b^2.}
さらに {r=\frac{b}{\alpha}} とおくと {|r|\lt 1}
{\displaystyle a+b\cos x=\frac{1}{2\alpha}(\alpha^2+2b\alpha\cos x+b^2)=\frac{\alpha}{2}(1+2r\cos x+r^2).}
故に
{\begin{align}
\int_0^\pi\log(a+b\cos x)dx
&= \int_0^\pi\log\left\{\frac{\alpha}{2}(1+2r\cos x+r^2)\right\}dx \\
&= \int_0^\pi\log\frac{\alpha}{2}dx+\int_0^\pi(1+2r\cos x+r^2)dx \\
&= \pi\log\frac{a+\sqrt{a^2-b^2}}{2}+\int_0^\pi(1+2r\cos x+r^2)dx
\end{align}}
であるから
{\displaystyle\int_0^\pi(1+2r\cos x+r^2)dx=0\quad (|r|\lt 1)}
を示せばよいことになる. また続く.