読者です 読者をやめる 読者になる 読者になる

Red cat の数学よもやま話・新装開店

はてなダイアリー「Red cat の数学よもやま話」から徐々にこちらに移行していきます。

定積分の問題(これで最後のおまけの続き)

同じことであるが {0\lt r\lt 1} として
{\displaystyle\int_0^{2\pi}\log(1-2r\cos\theta+r^2)d\theta=0}
を示す. {|z|\le r} とすれば
{\displaystyle\frac{\log(1-z)}{z}=-\left(1+\frac{z}{2}+\frac{z^2}{3}+\dots\right)}
は正則. 故に円周 {C}{|z|=r} に取るとき {\displaystyle\frac{dz}{z}=id\theta} に注意して
{0=\displaystyle\int_C\log(1-z)\frac{dz}{z}=i\displaystyle\int_0^{2\pi}\log(1-z)d\theta.}
{\log(1-z)} の実部を取るために {|1-z|^2} を計算すると
{|1-z|^2=(1-r\cos\theta)^2+(r\sin\theta)^2=1-2r\cos\theta+r^2}
であるから
{\displaystyle\frac12\int_0^{2\pi}\log(1-2r\cos\theta+r^2)d\theta=0}
が示された.

参考書籍 : 高木貞治「解析概論 改訂第三版」(岩波書店)

解析概論 (1961年)

解析概論 (1961年)