定積分の問題(これで最後のおまけの続き) - Red cat の数学よもやま話・新装開店

同じことであるが ${0\lt r\lt 1}$ として
${\displaystyle\int_0^{2\pi}\log(1-2r\cos\theta+r^2)d\theta=0}$
を示す. ${|z|\le r}$ とすれば
${\displaystyle\frac{\log(1-z)}{z}=-\left(1+\frac{z}{2}+\frac{z^2}{3}+\dots\right)}$
は正則. 故に円周 ${C}$ を ${|z|=r}$ に取るとき ${\displaystyle\frac{dz}{z}=id\theta}$ に注意して
${0=\displaystyle\int_C\log(1-z)\frac{dz}{z}=i\displaystyle\int_0^{2\pi}\log(1-z)d\theta.}$
${\log(1-z)}$ の実部を取るために ${|1-z|^2}$ を計算すると
${|1-z|^2=(1-r\cos\theta)^2+(r\sin\theta)^2=1-2r\cos\theta+r^2}$
であるから
${\displaystyle\frac12\int_0^{2\pi}\log(1-2r\cos\theta+r^2)d\theta=0}$
が示された.