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Red cat の数学よもやま話・新装開店

はてなダイアリー「Red cat の数学よもやま話」から徐々にこちらに移行していきます。

本当に難しい三次方程式の話(その 2.5)

ちょっとおまけとして, 特殊な場合の三次方程式の Galois 群を考えてみよう.

{p=0} の場合

このとき {x^6+27qx^3=x^3(x^3+27q)} は既約でないから {L}{K} 上の最小多項式にはならない. 一般に最小多項式{f_L(x)=x^3+27q} であって {K(L)/K} は高々 3 次拡大である. したがって, {q} の値によって Galois 群は {A_3} ないし単位群になる.

{q=0} の場合

このときも {x^6-27p^3=(x^2-3p)(x^4+3px^2+9p^2)} は既約でないからやはり {L}{K} 上の最小多項式でなく, 一般に最小多項式{f_L(x)=x^2-3p} である. 故に {K(L)/K} は高々 2 次拡大で, {p} の値によって Galois 群は {\tau=(1\ 2)} が生成する {S_3} の部分群としての {S_2}, ないしは単位群である.