本当に難しい三次方程式の話(その 2.5) - Red cat の数学よもやま話・新装開店

ちょっとおまけとして, 特殊な場合の三次方程式の Galois 群を考えてみよう.

${p=0}$ の場合

このとき ${x^6+27qx^3=x^3(x^3+27q)}$ は既約でないから ${L}$ の ${K}$ 上の最小多項式にはならない. 一般に最小多項式は ${f_L(x)=x^3+27q}$ であって ${K(L)/K}$ は高々 3 次拡大である. したがって, ${q}$ の値によって Galois 群は ${A_3}$ ないし単位群になる.

${q=0}$ の場合

このときも ${x^6-27p^3=(x^2-3p)(x^4+3px^2+9p^2)}$ は既約でないからやはり ${L}$ の ${K}$ 上の最小多項式でなく, 一般に最小多項式は ${f_L(x)=x^2-3p}$ である. 故に ${K(L)/K}$ は高々 2 次拡大で, ${p}$ の値によって Galois 群は ${\tau=(1\ 2)}$ が生成する ${S_3}$ の部分群としての ${S_2}$ , ないしは単位群である.