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Red cat の数学よもやま話・新装開店

はてなダイアリー「Red cat の数学よもやま話」から徐々にこちらに移行していきます。

完全微分形式の話

珍しく幾何の話題を.

{\mathbb{R}^2} の領域 {D} 上の一次微分形式
{\omega=Pdx+Qdy}
について
{\begin{align}
d\omega
&= dP\wedge dx+dQ\wedge dy \\
&= \left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dx\wedge dy
\end{align}}
である. したがって
{\displaystyle\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}}
であれば {\omega} は閉形式であるが, {D} が領域であることにより, 既知の通りこのとき
{\displaystyle\frac{\partial F}{\partial x}=P,\frac{\partial F}{\partial y}=Q}
となる {F} が存在するので, {\omega} は完全形式でもある. これは de Rham コホモロジー的には {H^1(D;\mathbb{R})=0} と同じことである.