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Red cat の数学よもやま話・新装開店

はてなダイアリー「Red cat の数学よもやま話」から徐々にこちらに移行していきます。

単連結でない空間上の微分形式(おまけ ?)

{D}{\omega} は前回のままとする。
{f:(D,S^1)\ni (x,y)\mapsto x+iy\in(\mathbb{C}-\{0\},U(1))}
同相写像. ただし {U(1)=\{z\in\mathbb{C}\ |\ |z|=1\}}.

この同相写像{\mathbb{C}-\{0\}} 上の微分形式 {\displaystyle\frac{dz}{z}} を引き戻すと
{\displaystyle\frac{x}{x^2+y^2}dx+\frac{y}{x^2+y^2}dy+i\omega}
となる.

ところが, {D} 上連続(!)な関数 {\displaystyle G=\frac12\log(x^2+y^2)} を取ると
{\displaystyle\frac{x}{x^2+y^2}dx+\frac{y}{x^2+y^2}dy=dG}
と書けるので, コホモロジー的には {i\omega} と同値なものである.

事実
{\displaystyle\int_{|z|=1}\frac{dz}{z}=2\pi i}
なので, {\omega}{H^1(D;\mathbb{R})\cong\mathbb{R}} の生成元であるという事実とも合致する.