Red cat の数学よもやま話・新装開店

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2012-10-12

単連結でない空間上の微分形式(おまけ ?)

${D}$ と ${\omega}$ は前回のままとする。
${f:(D,S^1)\ni (x,y)\mapsto x+iy\in(\mathbb{C}-\{0\},U(1))}$
は同相写像. ただし ${U(1)=\{z\in\mathbb{C}\ |\ |z|=1\}}$ .

この同相写像で ${\mathbb{C}-\{0\}}$ 上の微分形式 ${\displaystyle\frac{dz}{z}}$ を引き戻すと
${\displaystyle\frac{x}{x^2+y^2}dx+\frac{y}{x^2+y^2}dy+i\omega}$
となる.

ところが, ${D}$ 上連続(!)な関数 $G=\frac12\log(x^2+y^2)$ を取ると
${\displaystyle\frac{x}{x^2+y^2}dx+\frac{y}{x^2+y^2}dy=dG}$
と書けるので, コホモロジー的には ${i\omega}$ と同値なものである.

事実
${\displaystyle\int_{|z|=1}\frac{dz}{z}=2\pi i}$
なので, ${\omega}$ が ${H^1(D;\mathbb{R})\cong\mathbb{R}}$ の生成元であるという事実とも合致する.