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Red cat の数学よもやま話・新装開店

はてなダイアリー「Red cat の数学よもやま話」から徐々にこちらに移行していきます。

独立な確率変数の和の分布

簡単のため, 連続型の確率変数を考える. すなわち, 分布が連続関数 {f(x)} による重み付き測度 {f(x)dx} であるようなものだけを考える.

独立な確率変数 {X,Y} があるとき, {X}{Z=X+Y} もまた独立である. {X} の分布を {f(x)dx}, {Y} の分布を {g(y)dy} とするとき, {(X,Y)} の同時分布は
{f(x)g(y)dxdy}
である. ここで {y=z-x} と変数変換すると
{\displaystyle dxdy=\frac{\partial(x,y)}{\partial(x,z)}dxdz=dxdz}
であるから, {(X,Z)} の同時分布は
{f(x)g(z-x)dxdz}
である. {Z} の周辺分布を求めるには, これを {x}積分すればいいから
{\displaystyle\left(\int_{-\infty}^\infty f(x)g(z-x)dx\right)dz}
が求める分布である. つまり, 独立な連続型確率変数の和の確率密度関数は, 畳み込みによって求められる.