独立な確率変数の和の分布 - Red cat の数学よもやま話・新装開店

簡単のため, 連続型の確率変数を考える. すなわち, 分布が連続関数 ${f(x)}$ による重み付き測度 ${f(x)dx}$ であるようなものだけを考える.

独立な確率変数 ${X,Y}$ があるとき, ${X}$ と ${Z=X+Y}$ もまた独立である. ${X}$ の分布を ${f(x)dx}$ , ${Y}$ の分布を ${g(y)dy}$ とするとき, ${(X,Y)}$ の同時分布は
${f(x)g(y)dxdy}$
である. ここで ${y=z-x}$ と変数変換すると
$dxdy=\frac{\partial(x,y)}{\partial(x,z)}dxdz=dxdz$
であるから, ${(X,Z)}$ の同時分布は
${f(x)g(z-x)dxdz}$
である. ${Z}$ の周辺分布を求めるには, これを ${x}$ で積分すればいいから
${\displaystyle\left(\int_{-\infty}^\infty f(x)g(z-x)dx\right)dz}$
が求める分布である. つまり, 独立な連続型確率変数の和の確率密度関数は, 畳み込みによって求められる.