事前確率と事後確率 - Red cat の数学よもやま話・新装開店

Twitter より引用.

産まれてくる子供が、男なら90%の確率で「男」、女なら70%の確率で「女」と診断されるとしましょう。　Aさんの子供は「男」、Bさんの子供は「女」と診断されたとき、AさんのほうがBさんより確証が持てそうに見えますが、実は逆です！　なぜなら女なのに男と診断される確率が高いからです。

こういう問題を考えるとき, 事前確率と事後確率の考え方が重要である.

男の子が産まれるという事象を ${A_1}$ , 女の子が産まれるという事象を ${A_2}$ としよう. 事前確率は簡単のために ${P(A_1) = P(A_2) = 0.5}$ とする.

産まれた子が「男」と診断される事象を ${B_1}$ , 「女」と診断される事象を ${B_2}$ とする. すると
${ P(B_1|A_1) = 0.9, P(B_2|A_1) = 0.1, \\ P(B_1|A_2) = 0.3, P(B_2|A_2) = 0.7 }$
であり, ベイズの定理により
$P(A_i|B_j) = \frac{P(A_i)P(B_j|A_i)}{\sum_{k}P(A_k)P(B_j|A_k)}$
であり, 実際計算すると
${\displaystyle P(A_2|B_1) = \frac{0.5 \times 0.3}{0.5 \times 0.9 + 0.5 \times 0.3} = \frac{0.15}{0.6}=0.25, \\ \displaystyle P(A_1|B_2) = \frac{0.5 \times 0.1}{0.5 \times 0.1 + 0.5 \times 0.7} = \frac{0.05}{0.4}=0.125 }$
である. つまり

「男」と診断された子が女の子である(誤診の)確率は 0.25
「女」と診断された子が男の子である(誤診の)確率は 0.125

なので、「男」と診断された場合にそれが誤診である確率の方が高いというわけだ.