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Red cat の数学よもやま話・新装開店

はてなダイアリー「Red cat の数学よもやま話」から徐々にこちらに移行していきます。

ある級数の和(前編)

{\displaystyle A=1-\frac{1}{3^n}+\frac{1}{5^n}-\frac{1}{7^n}+\dots=\sum_{k=0}^\infty(-1)^k\frac{1}{(2k+1)^n}}
という級数を考える. この級数は無限積表示
{\displaystyle A=\left(1+\frac{1}{3^n}\right)^{-1}\left(1-\frac{1}{5^n}\right)^{-1}\left(1+\frac{1}{7^n}\right)^{-1}\left(1+\frac{1}{11^n}\right)^{-1}\left(1-\frac{1}{13^n}\right)^{-1}\dots}
を持つ. ここでこの無限積表示は奇素数 {p} に対する {\displaystyle\left(1\pm\frac{1}{p^n}\right)^{-1}} すべてについての積であり, 複号のところは {p}{4m-1} 型ならプラス, {4m+1} 型ならマイナスとする.

書き方を変えると
{\displaystyle A=\frac{3^n}{3^n+1}\cdot\frac{5^n}{5^n-1}\cdot\frac{7^n}{7^n+1}\cdot\frac{11^n}{11^n+1}\cdot\frac{13^n}{13^n-1}\cdot\dots}
である.

{n=1} とすれば
{\displaystyle\frac{\pi}{4}=\frac{3}{3+1}\cdot\frac{5}{5-1}\cdot\frac{7}{7+1}\cdot\frac{11}{11+1}\cdot\frac{13}{13-1}\cdot\dots} … (1)
である. 一方 zeta function の無限積表示
{\begin{align}
\zeta(n)
&= \sum_p\left(1-\frac{1}{p^n}\right)^{-1} \\
&= \sum_p\frac{p^n}{p^n-1}
\end{align}}
{n=2} とおくと
{\displaystyle\frac{\pi^2}{6}=\frac43\cdot\frac{3^2}{3^2-1}\cdot\frac{5^2}{5^2-1}\cdot\frac{7^2}{7^2-1}\cdot\frac{11^2}{11^2-1}\cdot\frac{13^2}{13^2-1}\cdot\dots} … (2)
であるから (2) 式を (1) 式で割ることによって
{\displaystyle\frac{\pi}{2}=\frac{3}{3-1}\cdot\frac{5}{5+1}\cdot\frac{7}{7-1}\cdot\frac{11}{11-1}\cdot\frac{13}{13+1}\cdot\dots}
を得る. (後編に続く)