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Red cat の数学よもやま話・新装開店

はてなダイアリー「Red cat の数学よもやま話」から徐々にこちらに移行していきます。

二項係数に関する関係式

{\displaystyle (1+x)^n=\sum_{k=0}^n{n \choose k}x^k}
の両辺に {x\cdot D} ({D}{x} についての微分作用素)を {m\ (m \leq n)} 回作用させて {x = - 1} を代入すると左辺は {m\lt n} のとき {0}, {m = n} のとき {(- 1)^n n!} となるので
{\displaystyle\sum_{k=0}^n{n \choose k}(- 1)^k k^m=
\begin{cases}
0 & (m\lt n) \\
(- 1)^n n! & (m = n)
\end{cases}}
が成り立つ. これを利用すると
{\begin{align}
&  \sum_{k=0}^n{n \choose k}(- 1)^k (x - k)^n \\
&= \sum_{k=0}^n{n \choose k}(- 1)^k\left(\sum_{m=0}^n{n \choose m}(- k)^m x^{n - m}\right) \\
&= \sum_{m=0}^n{n \choose m}(- 1)^m x^{n - m}\left(\sum_{k=0}^n{n \choose k}(- 1)^k k^m\right) \\
&= (-1)^n (- 1)^n n! = n!.
\end{align}}

参考サイト : 私的数学塾
(「私の備忘録」→「代数学分野」→「二項係数の性質」)