二項係数に関する関係式 - Red cat の数学よもやま話・新装開店

$(1+x)^n=\sum_{k=0}^n{n \choose k}x^k$
の両辺に ${x\cdot D}$ ( ${D}$ は ${x}$ についての微分作用素)を ${m\ (m \leq n)}$ 回作用させて ${x = - 1}$ を代入すると左辺は ${m\lt n}$ のとき ${0}$ , ${m = n}$ のとき ${(- 1)^n n!}$ となるので
${\displaystyle\sum_{k=0}^n{n \choose k}(- 1)^k k^m= \begin{cases} 0 & (m\lt n) \\ (- 1)^n n! & (m = n) \end{cases}}$
が成り立つ. これを利用すると
${\begin{align} & \sum_{k=0}^n{n \choose k}(- 1)^k (x - k)^n \\ &= \sum_{k=0}^n{n \choose k}(- 1)^k\left(\sum_{m=0}^n{n \choose m}(- k)^m x^{n - m}\right) \\ &= \sum_{m=0}^n{n \choose m}(- 1)^m x^{n - m}\left(\sum_{k=0}^n{n \choose k}(- 1)^k k^m\right) \\ &= (-1)^n (- 1)^n n! = n!. \end{align}}$

参考サイト : 私的数学塾
(「私の備忘録」→「代数学分野」→「二項係数の性質」)