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Red cat の数学よもやま話・新装開店

はてなダイアリー「Red cat の数学よもやま話」から徐々にこちらに移行していきます。

二項係数に関する関係式(補足)

二項係数に関する関係式 - Red cat の数学よもやま話・新装開店 の補足記事.
mathneko.hatenablog.com

補題. n \ge 0 のとき (x \cdot D)^n = \sum_k {n \atopwithdelims\{\} k} x^k D^k, ただし {n \atopwithdelims\{\} m} は第 2 種 Stirling 数.
(証明)
{\begin{align}
(x \cdot D)^{n + 1}
&= (x \cdot D) \cdot (x \cdot D)^n \\
&= (x \cdot D) \sum_k {n \atopwithdelims\{\} k} x^k D^k \\
&= x \sum_k {n \atopwithdelims\{\} k} D(x^k D^k) \\
&= x \sum_k {n \atopwithdelims\{\} k} (k x^{k - 1} D^k + x^k D^{k + 1}) \\
&= \sum_k {n \atopwithdelims\{\} k} (k x^k D^k + x^{k + 1} D^{k + 1}) \\
&= \sum_k k {n \atopwithdelims\{\} k} x^k D^k + \sum_k {n \atopwithdelims\{\} k} x^{k + 1} D^{k + 1} \\
&= \sum_k k {n \atopwithdelims\{\} k} x^k D^k + \sum_k {n \atopwithdelims\{\} k - 1} x^k D^k \\
&= \sum_k \left( k {n \atopwithdelims\{\} k} + {n \atopwithdelims\{\} k - 1} \right) x^k D^k \\
&= \sum_k {n + 1 \atopwithdelims\{\} k} x^k D^k.
\end{align}}
n = 0 のときは {0 \atopwithdelims\{\} k} = [k = 0] により成り立つ. よって補題帰納的に成り立つ.

命題 1. {m \lt n} のとき {(x \cdot D)^m (1 + x)^n = (1 + x)^{n-m} f(x)\ (\deg f(x) = m).}
(証明)
{\begin{align}
(x \cdot D)^m (1 + x)^n
&= \sum_k {m \atopwithdelims\{\} k} x^k D^k (1 + x)^n \\
&= \sum_k {m \atopwithdelims\{\} k} x^k n^\underline{k} (1 + x)^{n - k} \\
&= (1 + x)^{n - m}\sum_k n^\underline{k} {m \atopwithdelims\{\} k} x^k (1 + x)^{m - k}.
\end{align}}
ただし n^\underline{k} は下降階乗べき. ここに f(x) = \sum_k n^\underline{k} {m \atopwithdelims\{\} k} x^k (1 + x)^{m - k}m 次の多項式である.

命題 2. {(x \cdot D)^n (1 + x)^n = n !x^n + (1 + x)g(x)\ (\deg g(x) = n - 1).}
(証明)
{\begin{align}
(x \cdot D)^n (1 + x)^n
&= \sum_k {n \atopwithdelims\{\} k} x^k D^k (1 + x)^n \\
&= \sum_k {n \atopwithdelims\{\} k} x^k n^\underline{k} (1 + x)^{n - k} \\
&= n! x^n + \sum_{k \lt n} n^\underline{k} {n \atopwithdelims\{\} k} x^k (1 + x)^{n - k}\quad (\because n^\underline{n} = n!).
\end{align}}
ここに g(x) = \sum_{k \lt n} n^\underline{k} {n \atopwithdelims\{\} k} x^k (1 + x)^{n - k - 1}(n - 1) 次の多項式である.