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Red cat の数学よもやま話・新装開店

はてなダイアリー「Red cat の数学よもやま話」から徐々にこちらに移行していきます。

Bernoulli 数の指数母関数

二つの系列
{\langle f_n\rangle=\langle f_0,f_1,f_2,\dots\rangle,\langle g_n\rangle=\langle g_0,g_1,g_2,\dots\rangle}
のそれぞれの指数母関数を
{\displaystyle\hat{F}(z)=\sum_{n\geqslant 0}f_n\frac{z^n}{n!},\hat{G}(z)=\sum_{n\geqslant 0}g_n\frac{z^n}{n!}}
とするとき,
{\displaystyle\hat{F}(z)\hat{G}(z)=\sum_{n\geqslant 0}\sum_k{n \choose k}f_k g_{n-k}\frac{z^n}{n!}}
は系列
{\displaystyle\langle h_n\rangle=\left\langle\sum_k{n \choose k}f_k g_{n-k}\right\rangle}
の指数母関数になる. これをたたみ込みと言う.

さて, Bernoulli 数 {B_n}
{\displaystyle\sum_{j=0}^m{m+1 \choose j}B_j=[m=0]\quad(m\geqslant 0)}
で定義する*1. {m+1}{n} に置き換えて両辺に {B_n} を加えると
{\displaystyle\sum_k{n \choose k}B_k=B_n+[n=1]\quad(n\geqslant 0)}
である. 系列 \langle B_n\rangle の指数母関数を {\hat{B}(z)} とするとき, 上式の左辺は \langle B_n\rangle と定数系列 {\langle 1,1,1,\dots\rangle} のたたみ込みになっているので, その指数母関数は {\hat{B}(z)e^z} である、また右辺の指数母関数は
{\displaystyle\sum_{n\geqslant 0}(B_n+[n=1])\frac{z^n}{n!}=\hat{B}(z)+z}
である. 故に
{\hat{B}(z)e^z=\hat{B}(z)+z}
であるから \hat{B}(z)=z/(e^z-1) を得る.

*1:{[m=n]}{m=n} のとき {1}, そうでないとき {0} を表す.