Bernoulli 数の指数母関数 - Red cat の数学よもやま話・新装開店

二つの系列
${\langle f_n\rangle=\langle f_0,f_1,f_2,\dots\rangle,\langle g_n\rangle=\langle g_0,g_1,g_2,\dots\rangle}$
のそれぞれの指数母関数を
${\displaystyle\hat{F}(z)=\sum_{n\geqslant 0}f_n\frac{z^n}{n!},\hat{G}(z)=\sum_{n\geqslant 0}g_n\frac{z^n}{n!}}$
とするとき,
${\displaystyle\hat{F}(z)\hat{G}(z)=\sum_{n\geqslant 0}\sum_k{n \choose k}f_k g_{n-k}\frac{z^n}{n!}}$
は系列
${\displaystyle\langle h_n\rangle=\left\langle\sum_k{n \choose k}f_k g_{n-k}\right\rangle}$
の指数母関数になる. これをたたみ込みと言う.

さて, Bernoulli 数 ${B_n}$ を
${\displaystyle\sum_{j=0}^m{m+1 \choose j}B_j=[m=0]\quad(m\geqslant 0)}$
で定義する*1. ${m+1}$ を ${n}$ に置き換えて両辺に ${B_n}$ を加えると
${\displaystyle\sum_k{n \choose k}B_k=B_n+[n=1]\quad(n\geqslant 0)}$
である. 系列 $\langle B_n\rangle$ の指数母関数を ${\hat{B}(z)}$ とするとき, 上式の左辺は $\langle B_n\rangle$ と定数系列 ${\langle 1,1,1,\dots\rangle}$ のたたみ込みになっているので, その指数母関数は ${\hat{B}(z)e^z}$ である、また右辺の指数母関数は
${\displaystyle\sum_{n\geqslant 0}(B_n+[n=1])\frac{z^n}{n!}=\hat{B}(z)+z}$
である. 故に
${\hat{B}(z)e^z=\hat{B}(z)+z}$
であるから $\hat{B}(z)=z/(e^z-1)$ を得る.

*1: ${[m=n]}$ は ${m=n}$ のとき ${1}$ , そうでないとき ${0}$ を表す.