読者です 読者をやめる 読者になる 読者になる

Red cat の数学よもやま話・新装開店

はてなダイアリー「Red cat の数学よもやま話」から徐々にこちらに移行していきます。

母関数を用いた種々の技法(その 2)

{
F_0 = 0, \\
F_1 = 1, \\
F_{n+2} = F_{n+1} + F_n\ (n\geqslant 0)
}
は Fibonacci 数の漸化式である. ここで第 3 の式の両辺に {z^{n+2}} を掛けて {n} についての和を取ると
{\displaystyle\sum_{n\geqslant 0}F_{n+2}z^{n+2} = z\sum_{n\geqslant 0}F_{n+1}z^{n+1} + z^2\sum_{n\geqslant 0}F_nz^n}
となるが,
{
\displaystyle\sum_{n\geqslant 0}F_{n+2}z^{n+2} = \sum_{n\geqslant 0}F_nz^n - z, \\
\displaystyle\sum_{n\geqslant 0}F_{n+1}z^{n+1} = \sum_{n\geqslant 0}F_nz^n
}
であることから, {\displaystyle F(z) = \sum_{n\geqslant 0}F_nz^n} とおくと
{F(z)-z = zF(z) + z^2F(z)}
となり, このことから
{\displaystyle F(z) = \frac{z}{1-z-z^2}}
が求まる. 級数展開すると
{F(z) = z + z^2 + 2z^3 + 3z^4 + 5z^5 + 8z^6 + \dots}
となるので
{F_2=1, F_3=2, F_4=3, F_5=5, F_6=8, \dots}
がわかるのだが, これだけではどうと言うこともないので, 次の記事で {F_n} の閉じた式を求めることにする.