読者です 読者をやめる 読者になる 読者になる

Red cat の数学よもやま話・新装開店

はてなダイアリー「Red cat の数学よもやま話」から徐々にこちらに移行していきます。

母関数を用いた種々の技法(その 3)

前回の続き.
{\displaystyle \mathit{\Phi} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \mathit{\hat{\Phi}} = - \frac{1}{\mathit{\Phi}} = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}}
と置くと
{\begin{align}
F(z) &= \frac{z}{1 - z - z^2} \\
     &= \frac{1}{\sqrt{5}}\left(\frac{1}{1 - \mathit{\Phi}z} - \frac{1}{1 - \mathit{\hat{\Phi}}z}\right) \\
     &= \frac{1}{\sqrt{5}}\sum_{n\geqslant 0}(\mathit{\Phi}^n - \mathit{\hat{\Phi}}^n)z^n
\end{align}}
であるから
{\displaystyle F_n = \frac{\mathit{\Phi}^n - \mathit{\hat{\Phi}}^n}{\sqrt{5}}}
がわかる. しかし, これは {F_n} の閉じた式としてはあまり有用ではない.

{|\mathit{\hat{\Phi}}^n/\sqrt{5}| \lt 1/2} に着目すると
{\displaystyle F_n = \left\lfloor\frac{\mathit{\Phi}^n}{\sqrt{5}} + \frac12\right\rfloor}
という, もう少し有用な式が得られる.