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Red cat の数学よもやま話・新装開店

はてなダイアリー「Red cat の数学よもやま話」から徐々にこちらに移行していきます。

母関数を用いた種々の技法(その 4)

今回は, 少し天下り的ではあるが調和数
{\displaystyle H_n = 1 + \frac12 + \cdots + \frac1n}
の母関数を求めてみたい.

{\displaystyle \frac{1}{1 - z} = \sum_{n\geqslant 0}z^n}
の両辺を {z} について積分すると
{\displaystyle \ln\frac{1}{1 - z} = \sum_{n\geqslant 1}\frac1n z^n}
を得る*1. この両辺を {\displaystyle \frac{1}{1 - z}} で割ると
{\begin{align}
\frac{1}{1 - z}\ln\frac{1}{1 - z}
 &= \sum_{n\geqslant 1}\frac1n \frac{z^n}{1 - z} \\
 &= \sum_{n\geqslant 1}\frac1n \sum_{m\geqslant 0}z^{m + n} \\
 &= \sum_{n\geqslant 1}\sum_{m=0}^{n - 1}\frac{1}{n - m}z^n \\
 &= \sum_{n\geqslant 1}\sum_{m=1}^n \frac1m z^n \\
 &= \sum_{n\geqslant 1}H_n z^n \\
\end{align}}
となるから, {\langle H_n\rangle} の母関数は {\displaystyle \frac{1}{1 - z}\ln\frac{1}{1 - z}} である. 次回, もう少し一般化したものを求める.

*1:この式で {z\to 1} とすることで, {H_n\to\infty\ (n\to\infty)} がわかる.