母関数を用いた種々の技法(その 4) - Red cat の数学よもやま話・新装開店

今回は, 少し天下り的ではあるが調和数
$H_n = 1 + \frac12 + \cdots + \frac1n$
の母関数を求めてみたい.

$\frac{1}{1 - z} = \sum_{n\geqslant 0}z^n$
の両辺を ${z}$ について積分すると
$\ln\frac{1}{1 - z} = \sum_{n\geqslant 1}\frac1n z^n$
を得る*1. この両辺を $\frac{1}{1 - z}$ で割ると
${\begin{align} \frac{1}{1 - z}\ln\frac{1}{1 - z} &= \sum_{n\geqslant 1}\frac1n \frac{z^n}{1 - z} \\ &= \sum_{n\geqslant 1}\frac1n \sum_{m\geqslant 0}z^{m + n} \\ &= \sum_{n\geqslant 1}\sum_{m=0}^{n - 1}\frac{1}{n - m}z^n \\ &= \sum_{n\geqslant 1}\sum_{m=1}^n \frac1m z^n \\ &= \sum_{n\geqslant 1}H_n z^n \\ \end{align}}$
となるから, ${\langle H_n\rangle}$ の母関数は $\frac{1}{1 - z}\ln\frac{1}{1 - z}$ である. 次回, もう少し一般化したものを求める.

*1:この式で ${z\to 1}$ とすることで, ${H_n\to\infty\ (n\to\infty)}$ がわかる.