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Red cat の数学よもやま話・新装開店

はてなダイアリー「Red cat の数学よもやま話」から徐々にこちらに移行していきます。

母関数を用いた種々の技法(その 5)

前回の一般化.


{\begin{align}
\frac{1}{(1 - z)^{x + 1}} &= \sum_n (- 1)^n{- x - 1 \choose n}z^n \\
                          &= \sum_n {x + n \choose n}z^n
\end{align}}
から始める. 両辺を {x}微分すると, 左辺は {e^{- (x + 1)\ln(1 - z)}} と書き換えられるので, {\displaystyle \ln\frac{1}{1 - z}} が因子として現れる. 右辺の {\displaystyle{x + n \choose n}} は分子が {(x + n)\dots(x + 1)} であり, これを {x}微分することになるので, 結果としては {\displaystyle{x + n \choose n}}微分{\displaystyle{x + n \choose n}}
{\displaystyle \frac{1}{x + 1} + \dots + \frac{1}{x + n} = H_{x + n} - H_x}
の積となる. ここで {H_{x + n} - H_x}{x} が非整数のときにも意味を持つことに注意すること. 結局
{\displaystyle \frac{1}{(1 - z)^{x + 1}}\ln\frac{1}{1 - z} = \sum_n (H_{x + n} - H_x){x + n \choose n}z^n}
が得られたことになる. この式で {x = 0} と置けば前回導いた式が得られる.