Red cat の数学よもやま話・新装開店

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母関数を用いた種々の技法(その 6)

{\displaystyle S_m(n) = \sum_{0\leqslant k\lt n}k^m} について.
{\begin{align}
\hat{S}(z,n) &\stackrel{\mathrm{def}}{=} \sum_{m\geqslant 0}S_m(n)\frac{z^m}{m!} \\
             &= \sum_{m\geqslant 0}\sum_{0\leqslant k\lt n}k^m\frac{z^m}{m!} \\
             &= \sum_{0\leqslant k\lt n}e^{kz} \\
             &= \frac{e^{nz} - 1}{e^z - 1} \\
             &= \hat{B}(z)\frac{e^{nz} - 1}{z} \\
             &= \hat{B}(z)\sum_{m\geqslant 0}\frac{n^{m + 1}}{m + 1}\frac{z^m}{m!}
\end{align}}

{\begin{align}
S_m(n) &= \sum_k{m \choose k}B_k\frac{n^{m - k + 1}}{m - k + 1} \\
       &= m!\sum_k B_k\frac{n^{m - k + 1}}{k!(m - k + 1)!}
\end{align}}
となる. 小さい {m} について実際に計算すると
{\begin{alignat}{2}
S_0(n) &= 0!\left(B_0\frac{n}{0!1!}\right) & &= n \\
S_1(n) &= 1!\left(B_0\frac{n^2}{0!2!} + B_1\frac{n}{1!1!}\right) & &= \frac12 n^2 - \frac12 n \\
S_2(n) &= 2!\left(B_0\frac{n^3}{0!3!} + B_1\frac{n^2}{1!2!} + B_2\frac{n}{2!1!}\right) & &= \frac13 n^3 -\frac12 n^2 + \frac16 n
\end{alignat}}
となる.