Möbius 関数の Dirichlet 母関数(その 1) - Red cat の数学よもやま話・新装開店

母関数ネタの締めに, Möbius 関数の Dirichlet 母関数なるものを求めてみたい. 今回はそのための準備.

正の整数を引数とする関数 ${f}$ が
${f(1) = 1, f(m_1 m_2) = f(m_1)f(m_2)\ (m_1\perp m_2)}$
を満たすとき, ${f}$ は乗法的であるという.

$g(m) = \sum_{d\backslash m}f(d)$
なる関係式があるとき, ${f}$ が乗法的ならば明らかに ${g}$ も乗法的であるが, 実はその逆が成り立つ. 実際 ${1 = g(1) = f(1)}$ が成り立つから, 帰納法の基底は成り立つ.
${m\gt 1}$ とし, ${m_1\perp m_2, m_1 m_2\lt m}$ ならば ${f(m_1 m_2) = f(m_1)f(m_2)}$ が成り立っているものとする.
${m_1 m_2 = m}$ のとき
${\begin{align} g(m_1 m_2) &= \sum_{d\backslash m_1 m_2}f(d) \\ &= \sum_{d_1\backslash m_1}\sum_{d_2\backslash m_2}f(d_1 d_2) \\ &= \sum_{d_1\backslash m_1}\sum_{d_2\backslash m_2}f(d_1)f(d_2) - f(m_1)f(m_2) + f(m_1 m_2) \\ &= g(m_1)g(m_2) - f(m_1)f(m_2) + f(m_1 m_2) \end{align}}$
であり, ${g(m_1 m_2) = g(m_1)g(m_2)}$ であることから ${f(m_1 m_2) = f(m_1)f(m_2)}$ が導かれる.