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Red cat の数学よもやま話・新装開店

はてなダイアリー「Red cat の数学よもやま話」から徐々にこちらに移行していきます。

Möbius 関数の性質

Möbius 関数の性質についていくつか.

Möbius の反転公式

{\displaystyle
g(m) = \sum_{d\backslash m}f(d) \iff f(m) = \sum_{d\backslash m}\mu(d)g(\frac{m}{d})
}
左から右は
{\begin{align}
\sum_{d\backslash m}\mu(d)g(\frac{m}{d})
 &= \sum_{d\backslash m}\mu(\frac{m}{d})g(d) \\
 &= \sum_{d\backslash m}\mu(\frac{m}{d})\sum_{k\backslash d}f(k) \\
 &= \sum_{k\backslash m}\sum_{d\backslash(m/k)}\mu(\frac{m}{kd})f(k) \\
 &= \sum_{k\backslash m}\sum_{d\backslash(m/k)}\mu(d)f(k) \\
 &= \sum_{k\backslash m}[m/k = 1]f(k) = f(m),
\end{align}}
右から左は
{\begin{align}
\sum_{d\backslash m}f(d)
 &= \sum_{d\backslash m}\sum_{k\backslash d}\mu(k)g(\frac{d}{k}) \\
 &= \sum_{d\backslash m}\sum_{k\backslash d}\mu(\frac{d}{k})g(k) \\
 &= \sum_{k\backslash m}\sum_{d\backslash(m/k)}\mu(d)g(k) \\
 &= \sum_{k\backslash m}[m/k = 1]g(k) = g(m).
\end{align}}

Möbius 関数の具体的な値

Möbius 関数は乗法的であるから, 素数 {p} に対する {\mu(p^k) (k\ge 1)} の値が分かればよい. 定義により
{\mu(1) + \mu(p) + \dots + \mu(p^k) = 0}
かつ {\mu(1)=1} であるから
{\mu(p^k) = - 1\ (k = 1), 0\ (k \gt 1).}