Möbius 関数の Dirichlet 母関数(その 2) - Red cat の数学よもやま話・新装開店

いよいよ Dirichlet 母関数の話.

${n = 1}$ から始まる系列 ${\langle g_1, g_2, g_3, \dots\rangle}$ について
$\tilde{G}(z) = \sum_{n\geqslant 1}\frac{g_n}{n^z}$
を Dirichlet 母関数という.

このとき, 二つの Dirichlet 母関数の積は, 系列のどのようなたたみ込みに相当するか調べると,
${\begin{align} \tilde{F}(z)\tilde{G}(z) &= \sum_{l,m\geqslant 1}\frac{f_l}{l^z}\frac{g_m}{m^z} \\ &= \sum_{n\geqslant 1}\frac{1}{n^z}\sum_{l,m\geqslant 1}f_l g_m [lm = n] \\ &= \sum_{n\geqslant 1}\frac{1}{n^z}\sum_{d\backslash n}f_d g_{n/d} \end{align}}$
であるから,
$h_n = \sum_{d\backslash n}f_d g_{n/d}$
というたたみ込みに相当していることがわかる.

さて, Möbius 関数の定義式
$[n = 1] = \sum_{d\backslash n}\mu(d)$
は, 系列 ${\langle \mu(1), \mu(2), \mu(3),\dots \rangle}$ と定数系列 ${\langle 1, 1, 1, \dots \rangle}$ のたたみ込みであると解釈できる. 定数系列 ${\langle 1, 1, 1, \dots \rangle}$ の Dirichlet 母関数は ${\zeta(z)}$ であるから
$\tilde{M}(z)\zeta(z) = \sum_{n\geqslant 1}\frac{[n = 1]}{n^z} = 1$
なので ${\tilde{M}(z) = \zeta(z)^{- 1}.}$