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Red cat の数学よもやま話・新装開店

はてなダイアリー「Red cat の数学よもやま話」から徐々にこちらに移行していきます。

Möbius 関数の Dirichlet 母関数(その 2)

いよいよ Dirichlet 母関数の話.

{n = 1} から始まる系列 {\langle g_1, g_2, g_3, \dots\rangle} について
{\displaystyle \tilde{G}(z) = \sum_{n\geqslant 1}\frac{g_n}{n^z}}
Dirichlet 母関数という.

このとき, 二つの Dirichlet 母関数の積は, 系列のどのようなたたみ込みに相当するか調べると,
{\begin{align}
\tilde{F}(z)\tilde{G}(z)
 &= \sum_{l,m\geqslant 1}\frac{f_l}{l^z}\frac{g_m}{m^z} \\
 &= \sum_{n\geqslant 1}\frac{1}{n^z}\sum_{l,m\geqslant 1}f_l g_m [lm = n] \\
 &= \sum_{n\geqslant 1}\frac{1}{n^z}\sum_{d\backslash n}f_d g_{n/d} 
\end{align}}
であるから,
{\displaystyle h_n = \sum_{d\backslash n}f_d g_{n/d}}
というたたみ込みに相当していることがわかる.

さて, Möbius 関数の定義式
{\displaystyle [n = 1] = \sum_{d\backslash n}\mu(d)}
は, 系列 {\langle \mu(1), \mu(2), \mu(3),\dots \rangle} と定数系列 {\langle 1, 1, 1, \dots \rangle} のたたみ込みであると解釈できる. 定数系列 {\langle 1, 1, 1, \dots \rangle} の Dirichlet 母関数は {\zeta(z)} であるから
{\displaystyle \tilde{M}(z)\zeta(z) = \sum_{n\geqslant 1}\frac{[n = 1]}{n^z} = 1}
なので {\tilde{M}(z) = \zeta(z)^{- 1}.}