astroid の陰関数表示 - Red cat の数学よもやま話・新装開店

1 年振りでございました…orz

astroid という曲線をご存じであろうか.

${\left\{\begin{align} x &= a \cos^3 \theta \\ y &= a \sin^3 \theta \end{align}\right.}$

というパラメーター表示を持つ曲線である.

(上図は ${a=1}$ )

これのよく知られた陰関数表示として ${x^{\frac23}+y^{\frac23}=a^{\frac23}}$ があるが, 多項式じゃないから美しくない*1.

実は astroid にはれっきとした多項式による表示がある.

${\cos \theta = c, \sin \theta = s}$ と置くと astroid は

${\left\{\begin{align} x &= ac^3 \\ y &= as^3 \\ c^2 + s^2 &= 1 \end{align}\right.}$

という 3 つの多項式 *2で定義される曲線である. ここから ${c}$ と ${s}$ を消去すればいい. そのために ${\mathbb{Q}[a, x, y, c, s]}$ の ideal

${\mathfrak{I} = \langle x - ac^3, y - as^3, c^2 + s^2 - 1 \rangle}$

から ${c, s}$ を消去すれば良いのだが, 手で計算するのは面倒臭いので CoCoA というソフトに解かせてみる.

Use QQ[a,x,y,c,s];
I := ideal(x - a*c^3, y - a*s^3, c^2 + s^2 - 1);
elim(c..s, I);

${a^6 - 3a^4 x^2 + 3a^2 x^4 - x^6 - 3a^4 y^2 - 21a^2 x^2 y^2 - 3x^4 y^2 + 3a^2 y^4 - 3x^2 y^4 - y^6}$

というくそ長い多項式が出てくる. これを ${= 0}$ と置いたものが astroid の陰関数(しかも多項式)表示なのだが, 整理すると

${(x^2 + y^2 - a^2)^3 + 27a^2 x^2 y^2 = 0}$

と少しスッキリします. 興味のある方はこれを GRAPES などの陰関数表示ができるグラフ描画ソフトで実際に描いてみると良いです.

*1:と思うのはきっと私だけだ.

*2:代数方程式と言った方が適切かも.