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Red cat の数学よもやま話・新装開店

はてなダイアリー「Red cat の数学よもやま話」から徐々にこちらに移行していきます。

代数曲線と消去イデアル

ここまでさまざまな(パラメーター表示や極方程式で定義された)曲線を {x}{y}多項式によって陰関数表示してきた. それにより, それらが代数曲線であることもわかったわけであるが, そこで暗黙的に使っていた理論がある.

{k[x_1, x_2, \dots, x_n]} の ideal {\mathfrak{I}} に対し
{\mathfrak{I}_l = \mathfrak{I} \cap k[x_{l+1}, \dots, x_n]}{l} 番目の消去イデアルという.

消去イデアルを手で計算するのは一見すると簡単ではないが, Gröbner 基底を使うことでそれができるようになる. 詳しい証明は省略するが, {k[x_1, x_2, \dots, x_n]} に辞書式順序を {x_1\gt x_2\gt \dots \gt x_n} となるように決めたうえで {\mathfrak{I}} の Gröbner 基底を計算することで簡単に計算できる.

もっともこのようなことが成り立つためには {k}代数閉体である必要があるのだが, まぁその辺の詳しいことは割愛.