代数曲線と消去イデアル - Red cat の数学よもやま話・新装開店

ここまでさまざまな(パラメーター表示や極方程式で定義された)曲線を ${x}$ と ${y}$ の多項式によって陰関数表示してきた. それにより, それらが代数曲線であることもわかったわけであるが, そこで暗黙的に使っていた理論がある.

${k[x_1, x_2, \dots, x_n]}$ の ideal ${\mathfrak{I}}$ に対し
${\mathfrak{I}_l = \mathfrak{I} \cap k[x_{l+1}, \dots, x_n]}$ を ${l}$ 番目の消去イデアルという.

消去イデアルを手で計算するのは一見すると簡単ではないが, Gröbner 基底を使うことでそれができるようになる. 詳しい証明は省略するが, ${k[x_1, x_2, \dots, x_n]}$ に辞書式順序を ${x_1\gt x_2\gt \dots \gt x_n}$ となるように決めたうえで ${\mathfrak{I}}$ の Gröbner 基底を計算することで簡単に計算できる.

もっともこのようなことが成り立つためには ${k}$ は代数閉体である必要があるのだが, まぁその辺の詳しいことは割愛.