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Red cat の数学よもやま話・新装開店

はてなダイアリー「Red cat の数学よもやま話」から徐々にこちらに移行していきます。

直観主義論理の入り口~Heyting 代数~(その 3)

圏としての束

もう少し束の話を続けたいのですが, 圏論の知識を持っているといろいろと楽なことが多いので, 束を圏とみなす方法を紹介します.

一般に束 {L} はそれ自体半順序集合です. これを圏とみなすためには以下のようにします.

  1. {\mathcal{L}} の対象は {L} の元.
  2. {\mathcal{L}} の対象 {x, y} の間の射は {\hom(x, y) = \begin{cases} \{(x, y)\} & (x \le y) \\ \emptyset & (x \not\le y).\end{cases}}
  3. {(x, y)} と射 {(y, z)} に対して合成を {(y, z) \circ (x, y) = (x, z)} で定義.

このとき {L} が束であることと, {\mathcal{L}} が常に 2 個の対象の余積と積を持つことと同値です. 余積は交わり, 積は結びに相当します. また, {L}有界束であることは {\mathcal{L}} が(余積と積に加えて)始対象と終対象を持つことと同値です. 始対象は最小元 {0} で終対象は最大元 {1} になります. さらに, {L} が完備束であることは {\mathcal{L}} が無限余積と無限積を持つことと同値です.

双対圏(逆圏)

一般に圏 {\mathcal{C}} が与えられたとき, その双対圏 {\mathcal{C}^\mathrm{op}} が定義できます. {\mathcal{C}^\mathrm{op}} の対象は {\mathcal{C}} の対象で, 射は {\mathcal{C}} において {f : a \to b} であるとき {f^\mathrm{op} : b \to a} であるとします.

このとき, 例えば {\mathcal{C}} が始対象を持つならば、それは {\mathcal{C}^\mathrm{op}} における終対象になっていますが, このような関係にある概念は互いに双対概念であると言います.

束を圏とみなしたとき, 交わりと結び, 最小元と最大元は互いに双対概念になっています. また, 束の命題について, その順序関係を逆にし, なおかつ交わりと結びを入れ替えたものが双対命題になっています. 束の双対はまた束なので, 束である命題が成り立つならば, その双対命題も成り立つことが分かります.