直観主義論理の入り口～Heyting 代数～(その 4) - Red cat の数学よもやま話・新装開店

束についてもう少し

一般の束に関する性質をもう少し見ていきましょう.

$y \le z \Rightarrow x \wedge y \le x \wedge z, x \vee y \le x \vee z$
が成り立ちます(単調性).

これは
$(x \wedge y) \wedge (x \wedge z) = x \wedge y \wedge z = x \wedge y$ と $(x \vee y) \vee (x \vee z) = x \vee y \vee z = x \vee z$ からわかります.

また
$(x \wedge y) \vee (y \wedge z) \vee (z \wedge x) \le (x \vee y) \wedge (y \vee z) \wedge (z \vee x)$ … (*)
が成り立ちます. これは定義に従って地道に示せますので, 証明は省略します.

(*) 式から $x \le z \Rightarrow x \vee (y \wedge z) \le (x \vee y) \wedge z$ が導かれます. このことと単調性を上手く使うと

$(x \wedge y) \vee (x \wedge z) \le x \wedge (y \vee z)$
$x \vee (y \wedge z) \le (x \vee y) \wedge (x \vee z)$

が示せます. (*) 式は自己双対ですが, 上の二式は互いに双対な式になっています. 逆にこの二式から (*) 式を示すこともできるので, この二式を合わせたものは (*) 式と同値です.

分配束

(*) 式で等号が成り立っているとき, 上記の式は全て等号で置き換えることができますが, そのような関係が成り立つ束を分配束と言います.

分配束 $L$ においては
「 $x, y \in L$ に対して $x \wedge z = y \wedge z$ かつ $x \vee z = y \vee z$ を満たす $z \in L$ が存在すれば $x = y$ 」*1
が成り立ちます. 実際
${\begin{align} x &= x \vee (x \wedge z) \\ &= x \vee (y \wedge z) \\ &= (x \vee y) \wedge (x \vee z) \\ &= (y \vee x) \wedge (y \vee z) \\ &= y \vee (x \wedge z) \\ &= y \vee (y \wedge z) = y. \end{align}}$

また, これ以外の $L$ が分配束になる必要十分条件には
$x \wedge (y \vee z) \le (x \wedge y) \vee z$
があります. 実際分配束においては $x \le x \vee z$ に単調性を用いて
$x \wedge (y \vee z) \le (x \vee z) \wedge (y \vee z) = (x \wedge y) \vee z$
が成り立ちますし, 逆に $x \wedge (y \vee z) \le (x \wedge y) \vee z$ ならば
${\begin{align} x \wedge (y \vee z) &= x \wedge ( x \wedge (y \vee z) ) \\ &\le x \wedge ( (x \wedge y) \vee z ) \\ &= x \wedge ( z \vee (x \wedge y) ) \\ &\le (x \wedge z) \vee (x \wedge y) \end{align}}$
が成り立つので, 一般の束で成り立つ $(x \wedge y) \vee (x \wedge z) \le x \wedge (y \vee z)$ と合わせて $x \wedge (y \vee z) = (x \wedge y) \vee (x \wedge z).$

モジュラー束

$x \le z \Rightarrow x \vee (y \wedge z) \le (x \vee y) \wedge z$ は常に成り立ちますが, これの等号が成り立つとき, すなわち
$x \le z \Rightarrow x \vee (y \wedge z) = (x \vee y) \wedge z$
が成り立つ束をモジュラー束と言います. 分配束は常にモジュラー束になりますが, 逆は成り立ちません.

なお, 断りなしに双対命題が成り立つことを使いましたが, 「分配束である」「モジュラー束である」という概念は自己双対概念であるため, 分配束やモジュラー束で成り立つ命題については, 常にその双対命題が成り立ちます.

*1:これは $L$ が分配束となるための必要十分条件であることが知られています.