読者です 読者をやめる 読者になる 読者になる

Red cat の数学よもやま話・新装開店

はてなダイアリー「Red cat の数学よもやま話」から徐々にこちらに移行していきます。

直観主義論理の入り口~Heyting 代数~(その 4)

束についてもう少し

一般の束に関する性質をもう少し見ていきましょう.

y \le z \Rightarrow x \wedge y \le x \wedge z, x \vee y \le x \vee z
が成り立ちます(単調性).

これは
(x \wedge y) \wedge (x \wedge z) = x \wedge y \wedge z = x \wedge y(x \vee y) \vee (x \vee z) = x \vee y \vee z = x \vee z からわかります.

また
(x \wedge y) \vee (y \wedge z) \vee (z \wedge x) \le (x \vee y) \wedge (y \vee z) \wedge (z \vee x) … (*)
が成り立ちます. これは定義に従って地道に示せますので, 証明は省略します.

(*) 式から x \le z \Rightarrow x \vee (y \wedge z) \le (x \vee y) \wedge z が導かれます. このことと単調性を上手く使うと

  • (x \wedge y) \vee (x \wedge z) \le x \wedge (y \vee z)
  • x \vee (y \wedge z) \le (x \vee y) \wedge (x \vee z)

が示せます. (*) 式は自己双対ですが, 上の二式は互いに双対な式になっています. 逆にこの二式から (*) 式を示すこともできるので, この二式を合わせたものは (*) 式と同値です.

分配束

(*) 式で等号が成り立っているとき, 上記の式は全て等号で置き換えることができますが, そのような関係が成り立つ束を分配束と言います.

分配束 L においては
x, y \in L に対して x \wedge z = y \wedge z かつ x \vee z = y \vee z を満たす z \in L が存在すれば x = y*1
が成り立ちます. 実際
{\begin{align}
  x &= x \vee (x \wedge z) \\
    &= x \vee (y \wedge z) \\
    &= (x \vee y) \wedge (x \vee z) \\
    &= (y \vee x) \wedge (y \vee z) \\
    &= y \vee (x \wedge z) \\
    &= y \vee (y \wedge z) = y.
\end{align}}

また, これ以外の L分配束になる必要十分条件には
x \wedge (y \vee z) \le (x \wedge y) \vee z
があります. 実際分配束においては x \le x \vee z に単調性を用いて
x \wedge (y \vee z) \le (x \vee z) \wedge (y \vee z) = (x \wedge y) \vee z
が成り立ちますし, 逆に x \wedge (y \vee z) \le (x \wedge y) \vee z ならば
{\begin{align}
  x \wedge (y \vee z)
    &=   x \wedge ( x \wedge (y \vee z) ) \\
    &\le x \wedge ( (x \wedge y) \vee z ) \\
    &=   x \wedge ( z \vee (x \wedge y) ) \\
    &\le (x \wedge z) \vee (x \wedge y)
\end{align}}
が成り立つので, 一般の束で成り立つ (x \wedge y) \vee (x \wedge z) \le x \wedge (y \vee z) と合わせて x \wedge (y \vee z) = (x \wedge y) \vee (x \wedge z).

モジュラー束

x \le z \Rightarrow x \vee (y \wedge z) \le (x \vee y) \wedge z は常に成り立ちますが, これの等号が成り立つとき, すなわち
x \le z \Rightarrow x \vee (y \wedge z) = (x \vee y) \wedge z
が成り立つ束をモジュラー束と言います. 分配束は常にモジュラー束になりますが, 逆は成り立ちません.

なお, 断りなしに双対命題が成り立つことを使いましたが, 「分配束である」「モジュラー束である」という概念は自己双対概念であるため, 分配束やモジュラー束で成り立つ命題については, 常にその双対命題が成り立ちます.

*1:これは L分配束となるための必要十分条件であることが知られています.