読者です 読者をやめる 読者になる 読者になる

Red cat の数学よもやま話・新装開店

はてなダイアリー「Red cat の数学よもやま話」から徐々にこちらに移行していきます。

直観主義論理の入り口~Heyting 代数~(その 5)

ある方から証明を教えていただくことができた(正確には証明が載っている書籍を紹介していただいた)ので, 前回あいまいにしていた部分を消化しておきます.

定理. L分配束でなければ
a \vee c = b \vee c, a \wedge c = b \wedge c, a \ne b
を満たす a, b, c \in L が存在する.

(証明)
1. L がモジュラー束でないとき
このとき x \lt z かつ x \vee (y \wedge z) \lt (x \vee y) \wedge z を満たす x, y, z \in L が存在する. 明らかに
y \wedge z \le x \vee (y \wedge z) \lt (x \vee y) \wedge z \le x \vee y
が成り立っており, 単調性から
x \vee y = ( x \vee (y \wedge z) ) \vee y \le ( (x \vee y) \wedge z ) \vee y \le x \vee y

( x \vee (y \wedge z) ) \vee y = ( (x \vee y) \wedge z ) \vee y

y \wedge z \le ( x \vee (y \wedge z) ) \wedge y \le ( (x \vee y) \wedge z ) \wedge y = y \wedge z

( x \vee (y \wedge z) ) \wedge y = ( (x \vee y) \wedge z ) \wedge y
が成り立つ. 従って
a = x \vee (y \wedge z), b = (x \vee y) \wedge z, c = y
が条件を満たす.

2. L がモジュラー束のとき
仮定により (x \wedge y) \vee (y \wedge z) \vee (z \wedge x) \lt (x \vee y) \wedge (y \vee z) \wedge (z \vee x) を満たす x, y, z \in L が存在する.
{\begin{eqnarray}
a & = & (y \wedge z) \vee ( x \wedge (y \vee z) ) & = & ( (y \wedge z) \vee x ) \wedge (y \vee z) \\
b & = & (z \wedge x) \vee ( y \wedge (z \vee x) ) & = & ( (z \wedge x) \vee y ) \wedge (z \vee x) \\
c & = & (x \wedge y) \vee ( z \wedge (x \vee y) ) & = & ( (x \wedge y) \vee x ) \wedge (x \vee y) \\
\end{eqnarray}}
と置くと
{\begin{align}
a \vee b
 &= (y \wedge z) \vee ( x \wedge (y \vee z) ) \vee ( y \wedge (z \vee x) ) \vee (z \wedge x) \\
 &= (y \wedge z) \vee ( (x \vee y) \wedge (y \vee z) \wedge (z \vee x) ) \vee (z \wedge x) \\
 &= (x \vee y) \wedge (y \vee z) \wedge (z \vee x),
\end{align}}
ここに x \wedge (y \vee z) \le x \le z \vee xy \le y \vee z から
{\begin{align}
( x \wedge (y \vee z) ) \vee ( y \wedge (z \vee x) )
 &= ( ( x \wedge (y \vee z) ) \vee y ) \wedge (z \vee x) \\
 &= ( (x \vee y) \wedge (y \vee z) ) \wedge (z \vee x).
\end{align}}
同様にして
a \vee b = b \vee c = c \vee a = (x \vee y) \wedge (y \vee z) \wedge (z \vee x).
双対で
a \wedge b = b \wedge c = c \wedge a = (x \wedge y) \vee (y \wedge z) \vee (z \wedge x).
このことから, a, b, c のうちいずれか二つが等しければ
(x \wedge y) \vee (y \wedge z) \vee (z \wedge x) = (x \vee y) \wedge (y \vee z) \wedge (z \vee x)
となり仮定に反するから, a, b, c は互いに異なる元であり, これが定理の条件を満たす.