ある方から証明を教えていただくことができた(正確には証明が載っている書籍を紹介していただいた)ので, 前回あいまいにしていた部分を消化しておきます.
定理. が分配束でなければ
を満たす が存在する.
(証明)
1. がモジュラー束でないとき
このとき かつ を満たす が存在する. 明らかに
が成り立っており, 単調性から
故
と
故
が成り立つ. 従って
が条件を満たす.
2. がモジュラー束のとき
仮定により を満たす が存在する.
と置くと
ここに と から
同様にして
双対で
このことから, のうちいずれか二つが等しければ
となり仮定に反するから, は互いに異なる元であり, これが定理の条件を満たす.