楽しい圏論(その 3) - Red cat の数学よもやま話・新装開店

反変函手と双対圏

前回は函手を定義しましたが, もう一つ, 反変函手(contravariant functor)と言われるものがあります.

${e}$ が ${\mathcal{M}_1}$ の恒等射ならば ${F(e)}$ は ${\mathcal{M}_2}$ の恒等射である.
${\mathcal{M}_1}$ において ${xy}$ が定義されているならば ${\mathcal{M}_2}$ において ${F(y)F(x)}$ が定義されており, ${F(xy) = F(y)F(x)}$ である.

一つ目は通常の函手(共変函手(covariant functor)と言われることもあります)と同じですが, 二つ目が変わっていて, 反変函手の場合は射の合成の順番が入れ替わります.

反変函手は, 以下のような双対圏(dual category)の概念を導入することで, 共変函手と区別することなく扱うことができます.

${\mathcal{M}}$ を射のクラスとするとき, 双対射のクラス ${\mathcal{M}^{\mathrm{op}} = \{x^{\mathrm{op}} | x \in \mathcal{M}\}}$ において ${x^{\mathrm{op}} y^{\mathrm{op}} = (yx)^{\mathrm{op}}}$ と定めます. ${e \in \mathcal{M}}$ が恒等射ならば ${e^{\mathrm{op}} \in \mathcal{M}^{\mathrm{op}}}$ も恒等射です. ${(1_A)^{\mathrm{op}} = 1_{A^{\mathrm{op}}}}$ となるように定めることで ${\mathcal{O}^{\mathrm{op}} = \{A^{\mathrm{op}} | A \in \mathcal{O}\}}$ と表せます.

このとき

${D(x)^{\mathrm{op}}}$ は恒等射
${D(x)^{\mathrm{op}} x^{\mathrm{op}} = (xD(x))^{\mathrm{op}}}$ は定義されている

ので, ${R(x^{\mathrm{op}}) = D(x)^{\mathrm{op}}}$ です. 同様に ${D(x^{\mathrm{op}}) = R(x)^{\mathrm{op}}}$ です. よって ${A \overset{x}{\longrightarrow} B}$ は双対圏において ${B^{\mathrm{op}} \overset{x^{\mathrm{op}}}{\longrightarrow} A^{\mathrm{op}}}$ に変換されます.

${A \in \mathcal{O}}$ と ${A^{\mathrm{op}} \in \mathcal{O}^{\mathrm{op}}}$ を同一視することによって, 双対圏とは射の向きを逆にしたもの, と考えることができます.

双対圏を使うと反変函手 ${F : \mathcal{M}_1 \to \mathcal{M}_2}$ は共変函手 ${F : {\mathcal{M}_1}^{\mathrm{op}} \to \mathcal{M}_2}$ とみなせるため, 以下は反変函手もこの同一視によって単に「函手」と言うことにします.

自然変換

最後に自然変換を定義します.

二つの函手 ${F, G : \mathcal{C}_1 \to \mathcal{C}_2}$ があるとき, ${\eta : F \Rightarrow G}$ が自然変換(natural transformation)であるとは, 以下の公理を満たすことを言います.

${A \in \mathcal{O}_1}$ に対して ${\eta(A) \in \mathcal{C}_2(F(A), G(A)).}$
${x \in \mathcal{C}_1(A, B)}$ に対して次図は可換である.

${\require{AMScd}\begin{CD} F(A) @>{F(x)}>> F(B) \\ @V{\eta(A)}VV @VV{\eta(B)}V \\ G(A) @>>{G(x)}> G(B) \end{CD}}$

(標数 ${0}$ の体 ${K}$ 上の)有限次元ベクトル空間 ${V}$ について ${V^* := \hom(V, K)}$ とするとき, 「自然な」同型 ${V \cong V^{**}}$ があるのですが, この自然な, という意味は以下の通りです.

${\theta_V : V \to V^{**}}$ を ${\theta_V(x)(\varphi) = \varphi(x) \ (x \in V, \varphi \in V^*)}$ で定めるとき, 任意の線形写像 ${f : V \to W}$ に対して ${f^{**} \circ \theta_V = \theta_W \circ f}$ が成り立ちます. ただし ${f^* : W^* \ni \psi \mapsto \psi \circ f \in V^*.}$ 実際, 任意の ${x \in V}$ と ${\psi \in W^*}$ に対して

${\begin{align} (f^{**} \circ \theta_V)(x)(\psi) &= (\theta_V(x) \circ f^*)(\psi) \\ &= \theta_V(x)(\psi \circ f) \\ &= \psi(f(x)), \end{align}}$
${\begin{align} (\theta_W \circ f)(x)(\psi) &= \theta_W(f(x))(\psi) \\ &= \psi(f(x)). \end{align}}$

従って次図は可換になります.

${\require{AMScd}\begin{CD} V @>{f}>> W \\ @V{\theta_V}VV @VV{\theta_W}V \\ V^{**} @>>{f^{**}}> W^{**} \end{CD}}$

以上の証明には ${V}$ が有限次元であることは使っていませんが, ${V}$ が有限次元ならば ${\theta_V : V \to V^{**}}$ は同型写像になります.

元々は, このような現象を一般化する概念として自然変換を定義するべく, 函手や圏の概念ができていったようです.

記法の約束事

今後の記法に関する約束事です.

圏 : アルファベット大文字 ${C, D, \dots}$
対象 : アルファベット小文字 ${a, b, \dots}$ , 圏 ${C}$ の対象の全体は ${\mathcal{O}(C)}$ で表す.
射 : アルファベット小文字 ${f, g, h, \dots}$ , 圏 ${C}$ の対象 ${a}$ から ${b}$ への射の全体は ${C(a, b)}$ で表す.
函手 : アルファベット大文字 ${F, G, H, \dots}$
自然変換 : ギリシャ小文字 ${\theta, \eta, \dots}$