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Red cat の数学よもやま話・新装開店

はてなダイアリー「Red cat の数学よもやま話」から徐々にこちらに移行していきます。

楽しい圏論(その 4)

今後, {F(a), F(f)} などは単に {Fa, Ff} と書きます. また, 射や函手の合成記号は省いて {gf, GF} などと書きます.

自然変換の垂直合成と函手圏

{C} から圏 {D} への函手 {F, G, H : C \to D} と自然変換 {\theta : F \Rightarrow G, \eta : G \Rightarrow H} が与えられたとき, 垂直合成(vertical composition) {\eta \circ \theta}{(\eta \circ \theta)_a := \eta_a \theta_a \ (a \in \mathcal{O}(C))} で定義します.

これが {F} から {H} への自然変換になっていることは, 次図の可換性から明らかでしょう.

{\require{AMScd}\begin{CD}
Fa @>{Ff}>> Fb \\
@V{\theta_a}VV @VV{\theta_b}V \\
Ga @>{Gf}>> Gb \\
@V{\eta_a}VV @VV{\eta_b}V \\
Ha @>>{Hf}> Hb,
\end{CD}}
{(a, b \in \mathcal{O}(C), f \in C(a,b).)}

自然変換の垂直合成は結合法則を満たし, これによって {C} から {D} への函手の全体は函手を対象, 自然変換を射とする圏になります. これを函手圏(functor category)と言い, {D^C} で表します.

自然変換の水平合成

自然変換にはもう一つ, 水平合成(horizontal composition)と言われる合成があります. これは次図のように圏 {C} から圏 {D} への函手 {F_0, F_1 : C \to D} と, 圏 {D} から圏 {E} への函手 {G_0, G_1 : D \to E}, さらに自然変換 {\theta : F_0 \Rightarrow F_1, \eta : G_0 \Rightarrow G_1} があるときに定義されます.

以下, 長くなるので折りたたみ.


まず, 次図のような状況を考えます.

{D} における可換図式
{\require{AMScd}\begin{CD}
F_0 a @>{F_0 f }>> F_0 b \\
@V{\theta_a}VV @VV{\theta_b}V \\
F_1 a @>>{F_1 f }> F_1 b 
\end{CD}}
をそっくり函手 {G} で写すと
{\require{AMScd}\begin{CD}
G F_0 a @>{G F_0 f}>> G F_0 b \\
@V{G \theta_a}VV @VV{G \theta_b}V \\
G F_1 a @>>{G F_1 f}> G F_1 b
\end{CD}}
となるので, {(G \star \theta)_a := G \theta_a} と定義することで新しい自然変換 {G \star \theta : G F_0 \Rightarrow G F_1} が得られます.

次に, 次図のような状況を考えます.

{C} の射 {f : a \to b} は函手 {F} によって {Ff : Fa \to Fb} に写ります. このとき {\eta : G_0 \Rightarrow G_1} の自然性により, 可換図式
{\require{AMScd}\begin{CD}
G_0 F a @>{G_0 F f}>> G_0 F b \\
@V{\eta_{Fa}}VV @VV{\eta_{Fb}}V \\
G_1 F a @>>{G_1 F f}> G_1 F b
\end{CD}}
が成り立ちます. したがって {(\eta \star F)_a := \eta_{Fa}} と定義すれば, 新しい自然変換 {\eta \star F : G_0 F \Rightarrow G_1 F} が得られます.

以上の準備によって, 以下の要領で {\theta}{\eta} の水平合成が得られます.

{\eta \star \theta := (G_1 \star \theta) \circ (\eta \star F_0) : G_1 F_1 \Rightarrow G_0 F_0.}

気になるのは以下の図です.

しかし {(G_1 \star \theta) \circ (\eta \star F_0) = (\eta \star F_1) \circ (G_0 \star \theta)} が成り立つことが, 以下のようにしてわかります. {a \in \mathcal{O}(C)} を任意の対象とするとき, 射 {\theta_a : F_0 a \to F_1 a} について {\eta : G_0 \Rightarrow G_1} の自然性から可換図式
{\require{AMScd}\begin{CD}
G_0 F_0 a @>{G_0 \theta_a}>> G_0 F_1 a \\
@V{\eta_{F_0 a}}VV @VV{\eta_{F_1 a}}V \\
G_1 F_0 a @>>{G_1 \theta_a}> G_1 F_1 a,
\end{CD}}
すなわち {G_1 \theta_a \circ \eta_{F_0 a} = \eta_{F_1 a} \circ G_0 \theta_a } が成り立ちます.
以下, 定義により
{\begin{align}
(G_1 \star \theta)_a \circ (\eta \star F_0)_a   &= (\eta \star F_1)_a \circ (G_0 \star \theta)_a, \\
( (G_1 \star \theta) \circ (\eta \star F_0) )_a &= ( (\eta \star F_1) \circ (G_0 \star \theta) )_a, \\
(G_1 \star \theta) \circ (\eta \star F_0)       &= (\eta \star F_1) \circ (G_0 \star \theta).
\end{align}}

なお, 証明は略しますが, 垂直合成と水平合成に関して, 以下の図において
{(\eta_1 \circ \eta_0) \star (\theta_1 \circ \theta_0) = (\eta_1 \star \theta_1) \circ (\eta_0 \star \theta_0)}
が成り立ちます.