Red cat の数学よもやま話・新装開店

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楽しい圏論(その 5)

これまで, {\mathcal{M}(C)} はクラスであると仮定してきました*1が, 実際にはより大きな圏も扱うことが多いです. したがって, 今後は特に断りがなければそのような圏も扱っているものと考えてください. また, そのような圏を扱っている場合でも, 集合論でよく使う記号({\in} など)を濫用します.

小さな圏, 局所的に小さな圏

以下, 頻繁に使う用語の定義です.

  • {C}小さな圏(small category) {\stackrel{\mathrm{def}}{\iff}} {\mathcal{O}(C)} が(小さな)集合.
  • {C}局所的に小さな圏(locally small category) {\stackrel{\mathrm{def}}{\iff}} 任意の {a, b \in \mathcal{O}(C)} に対して {C(a, b)} が(小さな)集合.

圏の積と双函手

二つの圏 {C_1, C_2} があったとき, 以下のようにして新しい圏 {C_1 \times C_2} が構成できます*2.

  • {\mathcal{O}(C_1 \times C_2) = \{\langle a_1, a_2 \rangle | a_i \in \mathcal{O}(C_i)\},}
  • {f_i \in C_i(a_i, b_i)} のとき {\langle f_1, f_2 \rangle : \langle a_1, a_2 \rangle \to \langle b_1, b_2 \rangle,}
  • {\langle g_1, g_2 \rangle \langle f_1, f_2 \rangle = \langle g_1 f_1, g_2 f_2 \rangle.}

特殊な函手 {P_i : C_1 \times C_2 \to C_i} を以下のように定義します.

{a_i \in \mathcal{O}(C_i), f_i : a_i \to b_i} に対して {P_i\langle a_1, a_2 \rangle = a_i, P_i\langle f_1, f_2 \rangle = f_i.}

この圏の積は, 以下のような普遍性を持ちます.

函手 {F_i : D \to C_i} があったとき, 函手 {G : D \to C_1 \times C_2}{P_i G = F_i} を満たすものが存在します. 実際 {Gd = \langle F_1 d, F_2 d \rangle \ (d \in \mathcal{O}(D)), Gh = \langle F_1 h, F_2 h \rangle \ (h \in \mathcal{M}(D))} と置けばよいでしょう.

さて, 函手 {F : C_1 \times C_2 \to D} を特に双函手(bifunctor)と言います. 特に重要なのは, 局所的に小さな圏 {C} に対する hom 函手
{C(-, -) : C^{\mathrm{op}} \times C \to \mathbf{Set}}
でしょう*3. {f : a_1 \gets a_2, g : b_1 \to b_2} に対して
{C(f, g) : C(a_1, b_1) \ni h \mapsto ghf \in C(a_2, b_2)}
とすれば, これが実際に函手になっていることを見るのは容易でしょう.

さて, この hom 函手においてある {c \in \mathcal{O}(C)} を固定することで, 函手
{Y_C(c) = C(-, c) : C^{\mathrm{op}} \to \mathbf{Set}}
が得られます. つまり {Y_C}{C} から {\mathbf{Set}^{C^{\mathrm{op}}}} への函手を与えていることになります. これを米田函手(Yoneda functor)と言います. 同様に
{Y^C(c) = C(c, -) : C \to \mathbf{Set}}
から得られる函手 {Y^C : C^{\mathrm{op}} \to \mathbf{Set}^C}
もやはり米田函手と言います.

充満函手, 忠実函手

{F : C \to D} を函手とするとき, {F}函数 {C(a, b) \to D(Fa, Fb)} を導きます. 以下の用語を定義します.

  • {F}充満(full) {\stackrel{\mathrm{def}}{\iff}} 任意の {g \in D(Fa, Fb)} に対して {g = Ff} となる {f \in C(a, b)} が存在する.
  • {F}忠実(faithful) {\stackrel{\mathrm{def}}{\iff}} {f_1, f_2 \in C(a, b)} に対して {Ff_1 = Ff_2} ならば {f_1 = f_2.}

米田の補題

証明は次回行います. 二つの函手 {F, G : C \to D} に対して, {F} から {G} への自然変換の全体 {D^C(F, G)}{\mathrm{Nat}(F, G)} と書くことにします.

米田の補題 {C} を局所的に小さな圏とする.
{F : C^{\mathrm{op}} \to \mathbf{Set}} を函手とするとき自然同型
{\mathrm{Nat}(Y_C(c), F) \cong Fc }
が存在する. 特に {F = Y_C(c') = C(-, c')} に取れば
{\mathrm{Nat}(C(-, c), C(-, c')) = \mathrm{Nat}(Y_C(c), Y_C(c')) \cong Y_C(c')(c) = C(c, c'),}
すなわち米田函手は充満かつ忠実である.

特に米田の補題の後半は良く使います. すなわち任意の {x \in \mathcal{O}(C)} について自然同型 {C(x, c) \cong C(x, c')} が存在すれば, 対象として {c \cong c'} が成り立つということです.

ここに, 二つの対象 {c, c' \in \mathcal{O}(C)}同型(isomorphic)であるとは, 二つの射 {f : c \to c', g : c' \to c} が存在して {gf = 1_c, fg = 1_{c'}} を満たすことを言い, このような {f} (や {g}) を同型射(isomorphism)と言います.

*1:その部分クラスと同一視できる {\mathcal{O}(C)} ももちろんクラスになる.

*2:より普遍的な構成方法は後ほど紹介します.

*3:{\mathbf{Set}} は全ての小さな集合と写像の圏です.