楽しい圏論(その 6) - Red cat の数学よもやま話・新装開店

今回はいよいよ米田の補題を証明しますが, 少しだけ準備をします.

双対圏(再)

以前, 圏 ${C}$ の双対圏 ${C^\mathrm{op}}$ を定義しましたが, 圏 ${C}$ における言明 ${\mathrm{\Sigma}}$ は, 双対圏に写ることによって双対言明 ${\mathrm{\Sigma}^*}$ に書き換えられます. ${(C^{\mathrm{op}})^{\mathrm{op}} = C}$ であることを考えれば, 圏 ${C^{\mathrm{op}}}$ における言明 ${\mathrm{\Sigma}}$ が ${C}$ においては双対言明 ${\mathrm{\Sigma}^*}$ に書き換えられることになります.

以前, 束論の話の中で束 ${L}$ は圏とみなせる, という話をしましたが, ${L}$ が束ならば ${L^{\mathrm{op}}}$ も束なので, 一般の束においてある命題が成り立てば, 常にその双対命題も成り立つ, ということが圏論からもわかる, という理屈になります.

なお, 函手 ${F : C \to D}$ があるとき, ${F^{\mathrm{op}}(c) = Fc, F^{\mathrm{op}}(f^{\mathrm{op}}) = (Ff)^{\mathrm{op}}}$ とすれば函手 ${F^{\mathrm{op}} : C^{\mathrm{op}} \to D^{\mathrm{op}}}$ が得られます.

米田の補題の証明

ステートメントは前回紹介しましたが, ここでは上記の双対圏の話を踏まえて以下の形で証明します.

米田の補題 ${C}$ は局所的に小さな圏とする.
${F : C \to \mathbf{Set}}$ を函手とするとき自然同型
${y : \mathrm{Nat}(Yc, F) \cong Fc}$
が存在する. ただし ${Y : C^{\mathrm{op}} \to \mathbf{Set}^C}$ は米田函手
${Yc = C(c, -) : C \to \mathbf{Set}.}$

以下, 証明です.

自然変換 ${\theta : Yc = C(c, -) \Rightarrow F}$ に対して
${y(\theta) := \theta_c(1_c) : C(c, c) \to Fc}$
と置きます. ${y(\theta) = y(\eta)}$ と仮定します. このとき可換図式
${\require{AMScd}\begin{CD} C(c, c) @>{C(c, f)}>> C(c, c') \\ @V{\theta_c}VV @VV{\theta_{c'}}V \\ Fc @>>{Ff}> Fc' \end{CD}}$
( ${f : c \to c'}$ に対して ${C(c,f) : C(c,c) \ni g \mapsto fg \in C(c,c')}$ )
から
${\begin{align} \theta_{c'} f &= \theta_{c'} \circ f^*(1_c) \\ &= Ff \circ \theta_c(1_c) \\ &= Ff \circ \eta_c(1_c) \\ &= \eta_{c'} \circ f^*(1_c) \\ &= \eta_{c'} f \end{align}}$
で, ${c'}$ と ${f \in C(c, c')}$ は任意だったから ${\theta = \eta.}$

一方, ${x \in Fc}$ に対して ${\theta}$ を ${c'}$ と ${f : c \to c'}$ に対して
${\theta_{c'} f := (Ff)(x)}$
で定義すると, 次図は可換となります.
${\require{AMScd}\begin{CD} C(c, c_1) @>{C(c, g)}>> C(c, c_2) \\ @V{\theta_{c_1}}VV @VV{\theta_{c_2}}V \\ Fc_1 @>>{Fg}> Fc_2. \end{CD}}$
( ${g : c_1 \to c_2}$ )
実際 ${f \in C(c, c_1)}$ に対して
${\begin{align} (Fg)(\theta_{c_1}(f)) &= (Fg)( (Ff)(x) ) \\ &= (F(gf))(x), \\ \theta_{c_2}(C(c, g)(f)) &= \theta_{c_2}(gf) \\ &= (F(gf))(x). \end{align}}$
従って ${\theta}$ は ${C(c, -)}$ から ${F}$ への自然変換です. このとき
${\begin{align} y(\theta) &= \theta_c(1_c) \\ &= (F 1_c)(x) \\ &= 1_{Fc}(x) \\ &= x. \end{align}}$

最後に自然性を見ます. ${F}$ において自然であることは ${\theta \in \mathrm{Nat}(Yc, F_1)}$ と自然変換 ${\eta : F_1 \Rightarrow F_2}$ に対して
${\begin{align} y(\eta \circ \theta) &= (\eta_c \theta_c)(1_c) \\ &= \eta_c \circ y(\theta), \end{align}}$
すなわち次図の可換性からわかります.
${\require{AMScd}\begin{CD} \mathrm{Nat}(Yc, F_1) @>>> \mathrm{Nat}(Yc, F_2) \\ @V{y}VV @VV{y}V \\ F_1 c @>>{\eta_c}> F_2 c \end{CD}}$
ここに上辺の射は ${\mathrm{Nat}(Yc, F_1) \ni \theta \mapsto \eta \circ \theta \in \mathrm{Nat}(Yc, F_2).}$

${c}$ において自然であることを示します. ${f : c_1 \to c_2}$ とすると, ${\theta \in \mathrm{Nat}(Yc_1, F)}$ に対して
${\begin{align} y(\theta \circ Yf) &= (\theta_{c_2} (Yf)_{c_2})(1_{c_2}) \\ &= \theta_{c_2} \circ C(f, c_2)(1_{c_2}) \\ &= \theta_{c_2}(f), \\ (Ff) \circ y(\theta) &= (Ff) \circ \theta_{c_1}(1_{c_1}) \\ &= \theta_{c_2} \circ C(c_1, f)(1_{c_1}) \\ &= \theta_{c_2}(f) \end{align}}$
より, 次図が可換となります. ただし上辺の射は ${\mathrm{Nat}(Yc_1, F) \ni \theta \mapsto \theta \circ Yf \in \mathrm{Nat}(Yc_2, F).}$
${\require{AMScd}\begin{CD} \mathrm{Nat}(Yc_1, F) @>>> \mathrm{Nat}(Yc_2, F) \\ @V{y}VV @VV{y}V \\ Fc_1 @>>{Ff}> Fc_2 \end{CD}}$

以上により ${y : \mathrm{Nat}(Yc, F) \cong Fc}$ が自然同型であることが分かりました.