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Red cat の数学よもやま話・新装開店

はてなダイアリー「Red cat の数学よもやま話」から徐々にこちらに移行していきます。

楽しい圏論(その 6)

数学・基礎論

今回はいよいよ米田の補題を証明しますが, 少しだけ準備をします.

双対圏(再)

以前, 圏 {C} の双対圏 {C^\mathrm{op}} を定義しましたが, 圏 {C} における言明 {\mathrm{\Sigma}} は, 双対圏に写ることによって双対言明 {\mathrm{\Sigma}^*} に書き換えられます. {(C^{\mathrm{op}})^{\mathrm{op}} = C} であることを考えれば, 圏 {C^{\mathrm{op}}} における言明 {\mathrm{\Sigma}}{C} においては双対言明 {\mathrm{\Sigma}^*} に書き換えられることになります.

以前, 束論の話の中で束 {L} は圏とみなせる, という話をしましたが, {L} が束ならば {L^{\mathrm{op}}} も束なので, 一般の束においてある命題が成り立てば, 常にその双対命題も成り立つ, ということが圏論からもわかる, という理屈になります.

なお, 函手 {F : C \to D} があるとき, {F^{\mathrm{op}}(c) = Fc, F^{\mathrm{op}}(f^{\mathrm{op}}) = (Ff)^{\mathrm{op}}} とすれば函手 {F^{\mathrm{op}} : C^{\mathrm{op}} \to D^{\mathrm{op}}} が得られます.

米田の補題の証明

ステートメントは前回紹介しましたが, ここでは上記の双対圏の話を踏まえて以下の形で証明します.

米田の補題 {C} は局所的に小さな圏とする.
{F : C \to \mathbf{Set}} を函手とするとき自然同型
{y : \mathrm{Nat}(Yc, F) \cong Fc}
が存在する. ただし {Y : C^{\mathrm{op}} \to \mathbf{Set}^C} は米田函手
{Yc = C(c, -) : C \to \mathbf{Set}.}

以下, 証明です.


自然変換 {\theta : Yc = C(c, -) \Rightarrow F} に対して
{y(\theta) := \theta_c(1_c) : C(c, c) \to Fc}
と置きます. {y(\theta) = y(\eta)} と仮定します. このとき可換図式
{\require{AMScd}\begin{CD}
C(c, c) @>{C(c, f)}>> C(c, c') \\
@V{\theta_c}VV @VV{\theta_{c'}}V \\
Fc @>>{Ff}> Fc'
\end{CD}}
({f : c \to c'} に対して {C(c,f) : C(c,c) \ni g \mapsto fg \in C(c,c')})
から
{\begin{align}
\theta_{c'} f
  &= \theta_{c'} \circ f^*(1_c) \\
  &= Ff \circ \theta_c(1_c) \\
  &= Ff \circ \eta_c(1_c) \\
  &= \eta_{c'} \circ f^*(1_c) \\
  &= \eta_{c'} f
\end{align}}
で, {c'}{f \in C(c, c')} は任意だったから {\theta = \eta.}

一方, {x \in Fc} に対して {\theta}{c'}{f : c \to c'} に対して
{\theta_{c'} f := (Ff)(x)}
で定義すると, 次図は可換となります.
{\require{AMScd}\begin{CD}
C(c, c_1) @>{C(c, g)}>> C(c, c_2) \\
@V{\theta_{c_1}}VV @VV{\theta_{c_2}}V \\
Fc_1 @>>{Fg}> Fc_2.
\end{CD}}
({g : c_1 \to c_2})
実際 {f \in C(c, c_1)} に対して
{\begin{align}
(Fg)(\theta_{c_1}(f))
  &= (Fg)( (Ff)(x) ) \\
  &= (F(gf))(x), \\
\theta_{c_2}(C(c, g)(f))
  &= \theta_{c_2}(gf) \\
  &= (F(gf))(x).
\end{align}}
従って {\theta}{C(c, -)} から {F} への自然変換です. このとき
{\begin{align}
y(\theta)
  &= \theta_c(1_c) \\
  &= (F 1_c)(x) \\
  &= 1_{Fc}(x) \\
  &= x.
\end{align}}

最後に自然性を見ます. {F} において自然であることは {\theta \in \mathrm{Nat}(Yc, F_1)} と自然変換 {\eta : F_1 \Rightarrow F_2} に対して
{\begin{align}
y(\eta \circ \theta)
 &= (\eta_c \theta_c)(1_c) \\
 &= \eta_c \circ y(\theta),
\end{align}}
すなわち次図の可換性からわかります.
{\require{AMScd}\begin{CD}
\mathrm{Nat}(Yc, F_1) @>>> \mathrm{Nat}(Yc, F_2) \\
@V{y}VV @VV{y}V \\
F_1 c @>>{\eta_c}> F_2 c
\end{CD}}
ここに上辺の射は {\mathrm{Nat}(Yc, F_1) \ni \theta \mapsto \eta \circ \theta \in \mathrm{Nat}(Yc, F_2).}

{c} において自然であることを示します. {f : c_1 \to c_2} とすると, {\theta \in \mathrm{Nat}(Yc_1, F)} に対して
{\begin{align}
y(\theta \circ Yf)
  &= (\theta_{c_2} (Yf)_{c_2})(1_{c_2}) \\
  &= \theta_{c_2} \circ C(f, c_2)(1_{c_2}) \\
  &= \theta_{c_2}(f), \\
(Ff) \circ y(\theta)
  &= (Ff) \circ \theta_{c_1}(1_{c_1}) \\
  &= \theta_{c_2} \circ C(c_1, f)(1_{c_1}) \\
  &= \theta_{c_2}(f)
\end{align}}
より, 次図が可換となります. ただし上辺の射は {\mathrm{Nat}(Yc_1, F) \ni \theta \mapsto \theta \circ Yf \in \mathrm{Nat}(Yc_2, F).}
{\require{AMScd}\begin{CD}
\mathrm{Nat}(Yc_1, F) @>>> \mathrm{Nat}(Yc_2, F) \\
@V{y}VV @VV{y}V \\
Fc_1 @>>{Ff}> Fc_2
\end{CD}}

以上により {y : \mathrm{Nat}(Yc, F) \cong Fc} が自然同型であることが分かりました.