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Red cat の数学よもやま話・新装開店

はてなダイアリー「Red cat の数学よもやま話」から徐々にこちらに移行していきます。

楽しい圏論(その 7)

ある実例

{R}可換環とします. 集合 {X} が与えられたとき, {X} の元を基底とする自由 {R}-加群が作れます. これを {FX} で表すことにします. すると函手 {F : \mathbf{Set} \to R\text{-}\mathbf{Mod}} が作れます.

一方, {R}-加群 {M} に対して, {R}-加群であることを忘れてただの集合とみなす函手*1 {U : R\text{-}\mathbf{Mod} \to \mathbf{Set}} が作れます. 射も {R}-準同型であることを忘れて単に集合間の写像とみなします.

このとき, 以下の関係が成り立ちます.
{\theta_{X, M} : \hom(FX, M) \ni h \stackrel{\cong}{\longmapsto} h_X \in \hom(X, UM)} *2
つまり, {X} を基底の集合とする自由 {R}-加群から任意の {R}-加群への {R}-準同型は, 基底の像によって完全に決定されるということです.

さらに, 以下のような自然性が成り立ちます. 第一に, 写像 {f : X \to Y} があるとき, {h \in \hom(FY, M)} に対して
{\begin{align}
(\hom(f, UM) \circ \theta_{Y, M})(h)
  &= \hom(f, UM)(h_Y) \\
  &= h_Y \circ f, \\
(\theta_{X, M} \circ \hom(Ff, M))(h)
  &= \theta_{X, M}(h \circ Ff) \\
  &= (h \circ Ff)_X \\
  &= h_Y \circ f.
\end{align}}
{\require{AMScd}\begin{CD}
\hom(FY, M) @>{\hom(Ff, M)}>> \hom(FX, M) \\
@V{\theta_{Y, M}}VV \circlearrowleft @VV{\theta_{X, M}}V \\
\hom(Y, UM) @>>{\hom(f, UM)}> \hom(X, UM).
\end{CD}}

第二に, {R}-準同型 {g : M \to N} があるとき, {h' \in \hom(FX, M)} に対して
{\begin{align}
(\hom(X, Ug) \circ \theta_{X, M})(h')
  &= \hom(X, Ug)(h'_X) \\
  &= Ug \circ h'_X \\
  &= (g \circ h')_X, \\
(\theta_{X, N} \circ \hom(FX, g))(h')
  &= \theta_{X, N}(g \circ h') \\
  &= (g \circ h')_X.
\end{align}}
{\require{AMScd}\begin{CD}
\hom(FX, M) @>{\hom(FX, g)}>> \hom(FX, N) \\
@V{\theta_{X, M}}VV \circlearrowleft @VV{\theta_{X, N}}V \\
\hom(X, UM) @>>{\hom(X, Ug)}> \hom(X, UN).
\end{CD}}

今回からしばらくの間, このような現象を一般化した概念である「随伴函手」について書いていきます.

随伴函手

{C}{D} の間に函手 {F : D \to C}{U : C \to D} があって, {c}{d} において自然な同型
{C(Fd, c) \cong D(d, Uc)}
が存在するとき, {F}{U}左随伴函手(left adjoint functor)であると言います. また, このとき同時に, {U}{F}右随伴函手(right adjoint functor)であると言います. 記号では {F \dashv U} と書いている書籍もあります. 図にすると以下のようになります.

函手 {U : C \to D} に対して函手 {F : D \to C}{U} の左随伴函手であるようなものが存在するとき, {U} は左随伴函手を持つ, という表現をします. 右随伴函手を持つ, という表現も同様です.

定義において双対を取ると {C(c, F^\mathrm{op}d) \cong D(U^\mathrm{op}c, d)} なので, {U} が左随伴函手を持つことと {U^\mathrm{op}} が右随伴函手を持つこととは同値です. この意味で, 左随伴函手と右随伴函手は互いに双対の概念になっています.

*1:忘却函手(forgetful functor)と言います.

*2:{h_X}{h}{X} への制限.