Red cat の数学よもやま話・新装開店

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楽しい圏論(その 8)

年忘れ圏論大会 ! (ぁ

1 年半ぶりの記事の前に, ちょっとブログの今後の運用について.

連載記事に関しては, 今書いている圏論の話が一段落したら終了とします. 今後はサイトを作ってそちらでまとめていく予定です. 今後は単発のトピックのみ取り扱っていきます.

今回は普遍射についてお話します.

随伴函手と普遍射

函手 ${U : C\to D}$ が左随伴 ${F : D\to C}$ を持つことと, 次のような条件が同値になります.

${D}$ の任意の対象 ${d}$ に対して, ${C}$ の対象 ${Fd}$ と射 ${\eta_d : d\to UFd}$ が定まり, 任意の射 ${f : d\to Uc}$ に対して次図が可換になるような射 ${f' : Fd\to c}$ がただ一つ存在する.

実際, ${U}$ の左随伴 ${F}$ が存在すれば, 自然同型 ${C(Fd, c)\cong D(d, Uc)}$ が存在するので, この同型で ${1_{Fd}}$ に対応する射を ${\eta_d : d\to UFd}$ とすれば ${f : d\to Uc}$ に対して, この同型で対応する射 ${f' : Fd\to c}$ が条件を満たすただ一つの射になります.

逆を示すために, ${f : d\to d'}$ に対して ${Ff : Fd\to Fd'}$ を決めなくてはなりませんが, これは次図を考えると上手く行きます.

図を可換にするような ${g}$ がただ一つあるので, これを使って ${Ff = g}$ と定義すれば良いことがわかります. このとき自然同型 ${C(Fd, c)\cong D(d, Uc)}$ が成り立つことは演習としましょう.

ここで出てきた ${\langle Fd, \eta_d\rangle}$ が ${d}$ から ${U}$ への普遍射(universal arrow)と言われているものです. この言葉を使うと

「 ${U : C\to D}$ が左随伴を持つことは, ${D}$ の任意の対象 ${d}$ について ${d}$ から ${U}$ への普遍射が存在することと同値である.」

ということを今回示したことになります.