Red cat の数学よもやま話・新装開店

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楽しい圏論(その 9)

普遍射についてもう少し

${U : C\to D}$ が左随伴 ${F : D\to C}$ を持つとき, 双対的に ${F}$ は右随伴 ${U}$ を持つのでした.

自然同型 ${C(Fd, c)\cong D(d, Uc)}$ において ${1_{Uc}}$ に対応する射を ${\varepsilon_c : FUc\to c}$ としましょう. このとき ${g : Fd\to c}$ に対して, これに対応する ${g' : d\to Uc}$ を取れば, これが ${g = \varepsilon_c\circ Fg'}$ を満たすただ一つの射です.

このときの ${\langle Uc, \varepsilon_c\rangle}$ が ${F}$ から ${c}$ への普遍射です.

極限と余極限

${C, J}$ を圏とします. このとき対角函手 ${\Delta : C\to C^J}$ を以下のように定義します.

${C}$ の対象 ${c}$ に対して ${\Delta c}$ は, ${J}$ の任意の対象に ${c}$ を, 任意の射に ${1_c}$ を対応させる定数函手
射 ${f : c\to c'}$ に対して ${\Delta f}$ は, ${J}$ の各対象 ${i}$ における値が同じ ${f}$ となる自然変換 ${\Delta f : \Delta c\stackrel{\bullet}{\to}\Delta c'}$

このとき, ${F : J\to C}$ に対して ${\Delta}$ から ${F}$ への普遍射を極限(limit), ${F}$ から ${\Delta}$ への普遍射を余極限(colimit)と言います.

さて, 皆さんお気づきでしたでしょうか. 私はここまで圏の対象に関する積や余積などの諸概念を全く定義していませんでした.

しかし, 今定義した極限と余極限において ${J}$ を特別な圏に取ることによって, これらの諸概念が実現できるのです. 次回以降はそれを見ていくことにします.