Red cat の数学よもやま話・新装開店

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楽しい圏論(その 11)

ファイバー積

極限の特殊ケースをもう一つ.

{J = (\cdot\rightarrow\cdot\leftarrow\cdot)} という圏を考えます. これは見た目の通り, 対象が \{x_1, x_2, y\} の三つで, (恒等射以外の)射は {i_1 : x_1\to y, i_2 : x_2\to y} の二つだけ定義されている圏です. このとき函手 {F : J\to C} の極限は次図のようになり, ファイバー積 と言われているものです.

コンマ圏とファイバー積

圏 {C, D, E} と函手 {S : D\to C, T : E\to C} があるとき, 新しい圏 {(T\downarrow S)} を

  • 対象は {d\in\mathcal{O}(D), e\in\mathcal{O}(E), f : Te\to Sd} であるような {\langle d, e, f\rangle} の組
  • {\langle d, e, f\rangle} から {\langle d', e', f'\rangle} への射は次図を可換にするような射 {h : d\to d'} と {k : e\to e'} の組 {\langle h, k\rangle}

{\require{AMScd}\begin{CD} Te @>{k}>> Te' \\ @V{f}VV \circlearrowleft @VV{f'}V \\ Sd @>>{h}> Sd' \end{CD}}

と定義すると新たな圏が得られ, これをコンマ圏と言います.

ここで {D = \mathbf{1}, S = b : \mathbf{1}\to C, E = C, T = 1_C : C\to C} としたとき {(C\downarrow b) = (1_C\downarrow b)} は

  • 対象は {c\in\mathcal{O}(C), f : c\to b} であるような {\langle c, f\rangle} の組
  • {\langle c, f\rangle} から {\langle c', f'\rangle} への射は次図を可換にするような射 {k : c\to c'}

{\require{AMScd}\begin{CD} c @>{k}>> c' \\ @V{f}VV \circlearrowleft @VV{f'}V \\ b @>>{1_b}> b. \end{CD}}

となり, {b} の「上方の対象」と言われるものがなす圏になります. この圏で {f_1 : c_1\to b} と {f_2 : c_2\to b} の積を考えるとちょうどファイバー積になります.