楽しい圏論(その 12) - Red cat の数学よもやま話・新装開店

伏線回収回.

圏の積

「圏の積については後ほど一般的に定義します」と予告していましたので, ここで定義しておきます.

「全ての圏からなる圏」というものを考えることができます. 二つの圏 ${C_1, C_2}$ の積とは, ${C_1, C_2}$ をこの「全ての圏からなる圏」の対象と見たときの積です. このとき圏 ${C}$ の対象 ${c}$ および射 ${f}$ は函手 ${c : \mathbf{1}\to C, f : \mathbf{2}\to C}$ とみなすことができたのを思い出せば, 積の可換図式から ${C_1\times C_2}$ の対象や射がいかなるものか見えてくると思います.

表現可能函手

函手 ${F : C\to\mathbf{Set}}$ について ${F\cong C(c,-)}$ となる対象 ${c}$ があるとき ${F}$ は表現可能であると言います. このような対象 ${c}$ (表現対象と言います)は同型を除いて一意であることは米田の補題からわかります.

回収しておきたかった伏線とは以下の事実です.

「函手 ${U : C\to D}$ が左随伴を持つことと ${D}$ の任意の対象 ${d}$ に対して函手 ${D(d, U(-)) : C\to\mathbf{Set}}$ が表現可能であることとは同値である.」

${U}$ の左随伴 ${F : D\to C}$ があれば ${Fd}$ が表現対象になるので明らかです. 逆に任意の ${d}$ に対して ${D(d, U(-))}$ が表現可能ならば, ${C}$ の対象 ${Fd}$ で ${D(d, U(-))\cong C(Fd, -)}$ となるものが一意に存在します. この同型で ${1_{Fd}\in C(Fd, Fd)}$ に対応する射 ${\eta_d\in D(d, UFd)}$ を考えると ${\langle Fd, \eta_d\rangle}$ が ${d}$ から ${U}$ への普遍射になり, ${f : d\to d'}$ に対する ${Ff : Fd\to Fd'}$ が定義出来て ${F}$ は ${U}$ の左随伴となります.

かくして「随伴」と「普遍射」と「表現可能性」が同値であることがわかりました.