楽しい圏論(その 13)
極限は対角函手の右随伴である
の極限を で表します. これは対角函手 から の対象である への普遍射でした. 従って全ての に対して極限が存在するならば函手 は の右随伴です.
双対的に全ての に対して余極限 が存在すれば は の左随伴です. つまり
という関係が成り立っています.
右随伴は極限を保つ
と の対象 に対して函手 の極限を と表すことにします.
から への自然変換全体 は頂点 から底 への錘とも言われ とも表記されますが, が存在すれば自然同型
が成り立ちます. 一方で一点からなる集合 を用いて
が成り立ちます.
の完備性(このことについては詳細は割愛します)から
すなわち が成り立ちます.
これを使うと, がある函手 の右随伴ならば
となるため, は極限を保つことが分かります.
冪と極限
は積を持つ圏とします. このとき任意の対象 に対して函手 が右随伴を持つとき, これを と書いて, を冪対象と言います.
つまり冪は右随伴なので極限を保ち, 例えば極限の特別な場合として積を考えれば 終対象 を考えれば などが成り立っています.