Red cat の数学よもやま話・新装開店

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楽しい圏論(その 14)

トポスの定義

{C}デカルト閉圏(cartesian closed category, CCC) であるとは, 以下の三つの函手が特定の右随伴を持つことを言います.

  • {C\to\mathbf{1} = C^{\mathbf{0}}, c\mapsto 0}
  • {C\to C\times C, c\mapsto\langle c, c\rangle}
  • {C\to C, c\mapsto c\times b\quad (b\in\mathcal{O}(C))}

これらの右随伴は

  • {\mathbf{1}\to C, 0\mapsto 1} ({1} は終対象)
  • {C\times C\to C, \langle a, b\rangle\mapsto a\times b}
  • {C\to C, c\mapsto c^b\quad (b\in\mathcal{O}(C))}

なので, CCC とは「終対象と(有限)積と冪が存在する圏」と言い換えることができます.

{C}トポス(topos)であるとは, {C} が CCC で, かつ以下の性質を満たす部分対象分類子(subobject classifier) {t : 1\to\mathit{\Omega}} が存在することを言います.

1. 任意の {f : A\to\mathit{\Omega}}{t : 1\to\mathit{\Omega}} とのファイバー積が存在する.
{\require{AMScd}\begin{CD}
B @>{h}>> 1 \\
@V{g}VV \circlearrowleft @VV{t}V \\
A @>>{f}> \mathit{\Omega}
\end{CD}}

2. 任意の単射 {m : A'\to A} に対して, 次図が引き戻しとなるような射 {\varphi : A\to\mathit{\Omega}} が一意に存在する.

例えば {\mathrm{Set}}{t : 1 = \{\ast\}\to\{\emptyset, 1\} = \mathit{\Omega}, t(\ast) = 1} とするとトポスになります.

層の定義

位相空間 {X} の開集合の全体 {\mathcal{O}(X)} は包含関係を順序として, 順序集合という意味で圏とみなせます. 函手 {F : \mathcal{O}(X)^\mathrm{op}\to\mathbf{Set}}前層(presheaf) と言います.

{X} の開集合 {U, V} に対して {V\subset U} のとき, これに対応する {\mathcal{O}(X)^\mathrm{op}} でのただ一つの射 {U\to V} に対して前層 {F} が定める {FU} から {FV} への(集合間の)写像が決まりますが, この写像による {t\in FU} の像を {t|_V} と表すことにします.

{U = \bigcup U_i} のとき
{p : \prod_i FU_i\to\prod_{i, j}F(U_i\cap U_j), q : \prod_j FU_j\to\prod_{i, j}F(U_i\cap U_j)}

{p\langle t_i\rangle = \langle t_i|_{U_i\cap U_j}\rangle, q\langle t_j\rangle = \langle t_j|_{U_i\cap U_j}\rangle\quad (t_i\in FU_i)}
で定め, {e : FU\to\prod_i FU_i}{e(t) = \langle t|_{U_i}\rangle} で定めます.

前層 {F}(sheaf)であるとは, 次図がイコライザの図式であることを言います.

トポスも層も直観主義論理と深い関係がありますが, その話は次回紹介する参考書などを読んでいただくことにいたしましょう.