楽しい圏論(その 15) - Red cat の数学よもやま話・新装開店

最後に参考文献を挙げて終わりにしようかと思ったのですが、もう少し書きます。

米田の補題を使うと, 自然同型 ${C(x, c)\cong C(x, c')}$ があれば対象としての同型 ${c\cong c'}$ があることがわかるのですが、それを少し詳しく(米田の補題を使わずに)書きます.

そもそも自然同型 ${C(x, c)\cong C(x, c')}$ とは各 ${x}$ に対する(集合間の射としての)同型射 ${\tau_x : C(x, c)\cong C(x, c')}$ であって, 射 ${\varphi : y\to x}$ があるとき次図が可換になるものです.
${\require{AMScd} \begin{CD} C(x, c) @>{\tau_x}>> C(x, c') \\ @V{C(\varphi, c)}VV \circlearrowleft @VV{C(\varphi, c')}V \\ C(y, c) @>>{\tau_y}> C(y, c') \end{CD}}$
ここで ${C(\varphi, c) : C(x, c)\ni\psi \mapsto \psi\circ\varphi \in C(y, c).}$

今 ${f := \tau_c(1_c)\in C(c, c'), g := (\tau_{c'})^{-1}(1_{c'})\in C(c', c)}$ と置きましょう. このとき可換図式
${\begin{CD} C(c', c) @>{\tau_{c'}}>> C(c', c') \\ @V{C(f, c)}VV \circlearrowleft @VV{C(f, c')}V \\ C(c, c) @>>{\tau_c}> C(c, c') \end{CD}}$
において
${\begin{align} C(f, c')\circ \tau_{c'}(g) &= C(f, c')(1_{c'}) \\ &= f \\ &= \tau_c (1_c), \\ \tau_c\circ C(f, c)(g) &= \tau_c (g\circ f) \end{align}}$
から ${\tau_c (g\circ f) = \tau_c (1_c)}$ を得ます. ${\tau_c}$ は同型なので ${g\circ f = 1_c.}$

また可換図式
${\begin{CD} C(c, c) @>{\tau_c}>> C(c, c') \\ @V{C(g, c)}VV \circlearrowleft @VV{C(g, c')}V \\ C(c', c) @>>{\tau_{c'}}> C(c', c') \end{CD}}$
において
${\begin{align} C(g, c')\circ \tau_c (1_c) &= C(g, c')(f) \\ &= f\circ g, \\ \tau_{c'}\circ C(g, c)(1_c) &= \tau_{c'} (g) \\ &= 1_{c'} \end{align}}$
から ${f\circ g = 1_{c'}.}$

従って ${f : c\stackrel{\cong}{\longrightarrow} c'}$ となります.