Red cat の数学よもやま話・新装開店

はてなダイアリー「Red cat の数学よもやま話」から徐々にこちらに移行していきます。

楽しい圏論(その 15)

最後に参考文献を挙げて終わりにしようかと思ったのですが、もう少し書きます。

米田の補題を使うと, 自然同型 {C(x, c)\cong C(x, c')} があれば対象としての同型 {c\cong c'} があることがわかるのですが、それを少し詳しく(米田の補題を使わずに)書きます.

そもそも自然同型 {C(x, c)\cong C(x, c')} とは各 {x} に対する(集合間の射としての)同型射 {\tau_x : C(x, c)\cong C(x, c')} であって, 射 {\varphi : y\to x} があるとき次図が可換になるものです.
{\require{AMScd}
\begin{CD}
C(x, c) @>{\tau_x}>> C(x, c') \\
@V{C(\varphi, c)}VV \circlearrowleft @VV{C(\varphi, c')}V \\
C(y, c) @>>{\tau_y}> C(y, c')
\end{CD}}
ここで {C(\varphi, c) : C(x, c)\ni\psi \mapsto \psi\circ\varphi \in C(y, c).}

{f := \tau_c(1_c)\in C(c, c'), g := (\tau_{c'})^{-1}(1_{c'})\in C(c', c)} と置きましょう. このとき可換図式
{\begin{CD}
C(c', c) @>{\tau_{c'}}>> C(c', c') \\
@V{C(f, c)}VV \circlearrowleft @VV{C(f, c')}V \\
C(c, c) @>>{\tau_c}> C(c, c')
\end{CD}}
において
{\begin{align}
C(f, c')\circ \tau_{c'}(g)
 &= C(f, c')(1_{c'}) \\
 &= f \\
 &= \tau_c (1_c), \\
\tau_c\circ C(f, c)(g)
 &= \tau_c (g\circ f)
\end{align}}
から {\tau_c (g\circ f) = \tau_c (1_c)} を得ます. {\tau_c} は同型なので {g\circ f = 1_c.}

また可換図式
{\begin{CD}
C(c, c) @>{\tau_c}>> C(c, c') \\
@V{C(g, c)}VV \circlearrowleft @VV{C(g, c')}V \\
C(c', c) @>>{\tau_{c'}}> C(c', c')
\end{CD}}
において
{\begin{align}
C(g, c')\circ \tau_c (1_c)
 &= C(g, c')(f) \\
 &= f\circ g, \\
 &= \tau_c (1_c) \\
\tau_{c'}\circ C(g, c)(1_c)
 &= \tau_{c'} (g) \\
 &= 1_{c'}
\end{align}}
から {f\circ g = 1_{c'}.}

従って {f : c\stackrel{\cong}{\longrightarrow} c'} となります.