2022-02-18

貫太郎先生流アプローチ

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$x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = (x + y + z)(x^2 + y^2 + z^2 - yz - zx - xy)$
という有名な因数分解の公式を使って, 方程式 $x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = 0$ を $x$ について解くと, $\omega^3 = 1, \omega \ne 1$ なる複素数 $\omega$ を用いて
$x = - y - z, - y\omega - z\omega^2, - y\omega^2 - z\omega$
と表せる, ということで, 今回であれば $y^3 + z^3 = 6, yz = - 3$ となる実数 $y, z$ を見つければ, 残りの解も自動的に導けるということのようです.

2022-02-17

動画の別解

数学・解析

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二項定理でも解けるということなので, 二項定理を使って解いてみます.
$\displaystyle{\left(\frac{1 + \sqrt{7}i}{2}\right)^7 = \sum_{k=0}^7 \binom{7}{k}\left(\frac12\right)^{7-k}\left(\frac{\sqrt{7}i}{2}\right)^k}$
実部は $k$ が偶数のところだけ取り出せばいいので
$\begin{align} & \binom{7}{0}\left(\frac12\right)^7\left(\frac{\sqrt{7}i}{2}\right)^0 + \binom{7}{2}\left(\frac12\right)^5\left(\frac{\sqrt{7}i}{2}\right)^2 \\ &\quad + \binom{7}{4}\left(\frac12\right)^3\left(\frac{\sqrt{7}i}{2}\right)^4 + \binom{7}{6}\left(\frac12\right)\left(\frac{\sqrt{7}i}{2}\right)^6 \\ &= \left(\frac12\right)^7 + 21\left(\frac12\right)^5\left(-\frac74\right) \\ &\quad + 35\left(\frac12\right)^3\left(\frac{49}{16}\right) + 7\left(\frac12\right)\left(-\frac{343}{64}\right) = -\frac{13}{2}. \end{align}$

2022-02-11

川端先生流解法

数学・幾何

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f:id:redcat_math:20220211141800p:plain
上図のように考えれば
$\mathrm{EF} = 3\times \dfrac45 \times \dfrac45 \times \dfrac45 = \dfrac{192}{125}$
と導けますね!

2022-02-10

川端先生流解法

数学・幾何

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f:id:redcat_math:20220210155151p:plain
上図のように考えると
$\left\{\begin{array}{ccc} a^2 + (4 - b)^2 & = & 20 \\ (a - 2)^2 + b^2 & = & 20 \end{array}\right.$
という連立方程式が得られます. 辺々引くと
$4a - 4 + 16 - 8b = 0$
となるので
$a = 2b - 3$
を得られます. これを代入して $b$ についての二次方程式を解けば, 同様の解が得られます. ただし $a \gt 0$ の条件を忘れずに!

2022-02-04

ちょっとだけ補足

数学・代数

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$25x^2 - 5x - 4 = 0$ は $5x = \dfrac{1 \pm \sqrt{17}}{2}$ として解いたほうが早いかも.

2022-01-31

まだまだあるよ!鬼難問の別解たち

数学・代数

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こちらの動画で紹介した別解の他に, 以下のような別解をいただきました.

解いてみました！

因数分解の式は恒等式なので、y = 0 や x = 0 を代入しても等式は成立！
y = 0 → 4x^3 - 12x^2 + 5x = x(2x - 1)(2x - 5)
x = 0 → -18y^3 + 36y^2 - 10y = -2y(3y - 1)(3y-5)

で、ノリでくっつけた
(x - 2y)(2x + 3y - 1)(2x + 3y - 5)
を計算したら、元の式と一致しました😋 https://t.co/Zz32DEdu1S
— バーチャルデータサイエンティストアイシア=ソリッド (@AIcia_Solid) 2022年1月31日