Red cat の数学よもやま話・新装開店

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貫太郎先生流アプローチ

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x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = (x + y + z)(x^2 + y^2 + z^2 - yz - zx - xy)
という有名な因数分解の公式を使って, 方程式 x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = 0x について解くと, \omega^3 = 1, \omega \ne 1 なる複素数 \omega を用いて
x = - y - z, - y\omega - z\omega^2, - y\omega^2 - z\omega
と表せる, ということで, 今回であれば y^3 + z^3 = 6, yz = - 3 となる実数 y, z を見つければ, 残りの解も自動的に導けるということのようです.

川端先生流解法

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上図のように考えると
\left\{\begin{array}{ccc}
a^2 + (4 - b)^2 & = & 20 \\
(a - 2)^2 + b^2 & = & 20
\end{array}\right.
という連立方程式が得られます. 辺々引くと
4a - 4 + 16 - 8b = 0
となるので
a = 2b - 3
を得られます. これを代入して b についての二次方程式を解けば, 同様の解が得られます. ただし  a \gt 0 の条件を忘れずに!