Red cat の数学よもやま話・新装開店

はてなダイアリー「Red cat の数学よもやま話」から徐々にこちらに移行していきます。

数学・解析

別解

youtu.be と, それぞれの根号の中身を平方完成して で括れば, 括弧の中身は座標平面上の点 を順に結んだ折れ線の長さになるので, 最小値は のとき 最後にこれを 倍すれば最終的な解答を得られる.

もう一つの別解

youtu.be もう一つの別解をコメント欄で教えてもらったので紹介します。 の両辺に を足すと となるので, ここで を とでも置けば なので が成り立ち, は , すなわち のとき最小値 を取る. 従って は のとき最小値 を取る.最大・最小の概念は平行移動しても変…

別解

youtu.be と置いた場合の別解. なので, のときの の最小値を求めればよい. なので、グラフは以下の通り. これより明らかに のとき が最小値とわかる.

ひねり過ぎた?

youtu.be 普通にこう解いたほうが良かったかな?

実は…

youtu.be お気付きの方もいると思いますが なので も解とみなすことができます.

きちんと証明

youtu.be 動画では尺の都合で厳密な証明が出来なかったので, 改めて を証明します.任意の に対して自然数 が存在して が成り立ちます. として, の中で最大のものを とおくと なので, 自然数 が存在して が成り立ちます.よって とおくと, ならば となり が示…

動画の別解

youtu.be 二項定理でも解けるということなので, 二項定理を使って解いてみます. 実部は が偶数のところだけ取り出せばいいので

動画の別解

www.youtube.com何か別解の解説だけで動画作るのもアレなので、ブログに書きます。 とおくと となるので

対数の値

a はどの範囲?— 圏論のあか☆ねこ (@math_neko) 2021年8月9日 関数電卓も近似値もいらないよ!普通に解けるよ!定義から ですから少なくとも はわかるので, 4番目の選択肢は除外されますね. の両辺を2乗すると なので, , つまり です. これで3番目の選択肢も除…

10の5乗根(止め)

mathneko.hatenablog.com mathneko.hatenablog.com二項定理で上から止めを刺す.結局 だった.

円周率の評価

mathneko.hatenablog.comせっかく が分かったのでもう少し細かく(?)計算してみます.

10の5乗根のさらなる評価

mathneko.hatenablog.comTwitter でせっかくコメントをいただいたので, ちょっと詳しく. なので . 両辺の10乗根を取って . と から , すなわち がわかるので .

ヘンテコ指数方程式

英語が怪しい pic.twitter.com/BWrLMuIjqW— 圏論のあか☆ねこ (@math_neko) 2021年8月9日 方程式 を解け. ツイートの画像は英語が正しいか怪しいので日本語で書き直します(苦笑). とおくと なので, 方程式は と書き直せます. 両辺を5乗すれば となるので です…

固定ツイート問題の解答

この方程式、解けますか? pic.twitter.com/THABZhnWdi— 圏論のあか☆ねこ (@math_neko) 2021年8月7日 を解け. まず, 方程式 が解を持つ条件を調べてみます. とおくと です. 両辺を について微分して となるので となり, のとき最小値 となります. ですから, …

あの有名問題を積分で解く

3年ぶりのブログ更新です.かつて東大の入試問題に「 を示せ」という問題が出題されたことは周知の事実かと思いますが, 通常は図形を使って示すのですが, 今回は積分を使って示してみたいと思います. のとき となることは良いと思います. と言っても, から ま…

Möbius 関数の Dirichlet 母関数(その 2)

いよいよ Dirichlet 母関数の話. から始まる系列 について を Dirichlet 母関数という.このとき, 二つの Dirichlet 母関数の積は, 系列のどのようなたたみ込みに相当するか調べると, であるから, というたたみ込みに相当していることがわかる.さて, Möbius …

母関数を用いた種々の技法(その 6)

について. 故 となる. 小さい について実際に計算すると となる.

母関数を用いた種々の技法(その 5)

前回の一般化.式 から始める. 両辺を で微分すると, 左辺は と書き換えられるので, が因子として現れる. 右辺の は分子が であり, これを で微分することになるので, 結果としては の微分は と の積となる. ここで は が非整数のときにも意味を持つことに注…

母関数を用いた種々の技法(その 4)

今回は, 少し天下り的ではあるが調和数 の母関数を求めてみたい. の両辺を について積分すると を得る*1. この両辺を で割ると となるから, の母関数は である. 次回, もう少し一般化したものを求める. *1:この式で とすることで, がわかる.

母関数を用いた種々の技法(その 3)

前回の続き. と置くと であるから がわかる. しかし, これは の閉じた式としてはあまり有用ではない. に着目すると という, もう少し有用な式が得られる.

母関数を用いた種々の技法(その 2)

は Fibonacci 数の漸化式である. ここで第 3 の式の両辺に を掛けて についての和を取ると となるが, であることから, とおくと となり, このことから が求まる. 級数展開すると となるので がわかるのだが, これだけではどうと言うこともないので, 次の記事…

母関数を用いた種々の技法(その 1)

なる漸化式を見たとき, 数学が得意な方であればこれが であることはすぐにわかると思う. しかし, ここでは母関数を用いた解法を紹介したい.上の式は一行で書くと となる. 系列 の指数母関数 を考えると 故, が求まる. 従って である.これは簡単な例であるが,…

Bernoulli 数の指数母関数

二つの系列 のそれぞれの指数母関数を とするとき, は系列 の指数母関数になる. これをたたみ込みと言う.さて, Bernoulli 数 を で定義する*1. を に置き換えて両辺に を加えると である. 系列 の指数母関数を とするとき, 上式の左辺は と定数系列 のたたみ…

コンパクト集合の共通部分がコンパクトでない例

に開集合系として を定めて位相空間とする. 開区間 とする. このとき とおくと は のコンパクト集合であるが, はコンパクトではない.

積分の変形

面白い問題見つけたので解いてみた. を示せ. って問題で, 「数学的帰納法を使われるのは気分が悪い」って言ってたから使わないでやってみた. ここで だから結論を得る.

ある級数の和(後編)

さて … (1) の両辺を 倍すると を得る. これを の級数展開を利用して分解すると となる. ここで の符号は「 を素因数分解したとき 型の素因数が偶数個ならプラス, 奇数個ならマイナス」で決定する. また, (1) の両辺を 倍すると を得るので, 同様に展開して …

ある級数の和(前編)

という級数を考える. この級数は無限積表示 を持つ. ここでこの無限積表示は奇素数 に対する すべてについての積であり, 複号のところは が 型ならプラス, 型ならマイナスとする.書き方を変えると である. とすれば … (1) である. 一方 zeta function の無限…

数学問題 bot の問題から

Twitter の数学問題 bot が出題する問題から一題拝借. をなめらかな関数とし, とおく. は の 階導関数. このとき を示せ, という問題であるが, これは のとき なので*1, この式で とおけばよい. *1:大雑把にしか計算してないがたぶん大丈夫

定積分の問題(これで最後のおまけの続き)

同じことであるが として を示す. とすれば は正則. 故に円周 を に取るとき に注意して の実部を取るために を計算すると であるから が示された.参考書籍 : 高木貞治「解析概論 改訂第三版」(岩波書店)解析概論 (1961年)作者: 高木貞治出版社/メーカー: 岩…

定積分の問題(おまけ)

が成り立つ. 以下証明.参考サイト http://suseum.jp/gq/question/745 とおくと は二次方程式 の解であるから を 倍して さらに とおくと で 故に であるから を示せばよいことになる. また続く.