楽しい圏論(その 13) - Red cat の数学よもやま話・新装開店

極限は対角函手の右随伴である

${F : J\to C}$ の極限を ${\varprojlim F}$ で表します. これは対角函手 ${\Delta : C\to C^J}$ から ${C^J}$ の対象である ${F}$ への普遍射でした. 従って全ての ${F : J\to C}$ に対して極限が存在するならば函手 ${\varprojlim : C^J\to C}$ は ${\Delta}$ の右随伴です.

双対的に全ての ${F : J\to C}$ に対して余極限 ${\varinjlim F}$ が存在すれば ${\varinjlim : C^J\to C}$ は ${\Delta}$ の左随伴です. つまり
${\varinjlim\dashv\Delta\dashv\varprojlim}$
という関係が成り立っています.

右随伴は極限を保つ

${F : J\to C}$ と ${C}$ の対象 ${c}$ に対して函手 ${C(c, F(-)) : J\to\mathbf{Set}}$ の極限を ${\varprojlim C(c, F)}$ と表すことにします.

${\Delta c}$ から ${F : J\to C}$ への自然変換全体 ${\mathrm{Nat}(\Delta c, F)}$ は頂点 ${c}$ から底 ${F}$ への錘とも言われ ${\mathrm{Cone}(c, F)}$ とも表記されますが, ${\varprojlim F}$ が存在すれば自然同型
${\mathrm{Cone}(c, F) = \mathrm{Nat}(\Delta c, F)\cong C(c, \varprojlim F)}$
が成り立ちます. 一方で一点からなる集合 ${\ast}$ を用いて
${\mathrm{Cone}(c, F) = \mathrm{Cone}(\ast, C(c, F(-)))}$
が成り立ちます.

${\mathbf{Set}}$ の完備性(このことについては詳細は割愛します)から
${\begin{align} \mathbf{Set}(x, \varprojlim C(c, F)) &\cong \mathrm{Cone}(x, C(c, F(-))) \\ &\cong \mathbf{Set}(x, \mathrm{Cone}(\ast, C(c, F(-)))) \\ &= \mathbf{Set}(x, \mathrm{Cone}(c, F)) \\ &\cong \mathbf{Set}(x, C(c, \varprojlim F)), \end{align}}$
すなわち ${C(c, \varprojlim F)\cong \varprojlim C(c, F)}$ が成り立ちます.

これを使うと, ${U : C\to D}$ がある函手 ${G : D\to C}$ の右随伴ならば
${\begin{align} D(d, U(\varprojlim F)) &\cong C(Gd, \varprojlim F) \\ &\cong \varprojlim C(Gd, F) \\ &\cong \varprojlim D(d, UF) \\ &\cong D(d, \varprojlim UF) \end{align}}$
となるため, ${U}$ は極限を保つことが分かります.