楽しい圏論(その 14) - Red cat の数学よもやま話・新装開店

トポスの定義

圏 ${C}$ がデカルト閉圏(cartesian closed category, CCC) であるとは, 以下の三つの函手が特定の右随伴を持つことを言います.

${C\to\mathbf{1} = C^{\mathbf{0}}, c\mapsto 0}$
${C\to C\times C, c\mapsto\langle c, c\rangle}$
${C\to C, c\mapsto c\times b\quad (b\in\mathcal{O}(C))}$

これらの右随伴は

${\mathbf{1}\to C, 0\mapsto 1}$ ( ${1}$ は終対象)
${C\times C\to C, \langle a, b\rangle\mapsto a\times b}$
${C\to C, c\mapsto c^b\quad (b\in\mathcal{O}(C))}$

なので, CCC とは「終対象と(有限)積と冪が存在する圏」と言い換えることができます.

圏 ${C}$ がトポス(topos)であるとは, ${C}$ が CCC で, かつ以下の性質を満たす部分対象分類子(subobject classifier) ${t : 1\to\mathit{\Omega}}$ が存在することを言います.

任意の単射 ${m : A'\to A}$ に対して, 次図が引き戻しとなるような射 ${\varphi : A\to\mathit{\Omega}}$ が一意に存在する.

例えば ${\mathrm{Set}}$ は ${t : 1 = \{ 0 \} \hookrightarrow \{0, 1\} = \mathit{\Omega}}$ とするとトポスになります.

層の定義

位相空間 ${X}$ の開集合の全体 ${\mathcal{O}(X)}$ は包含関係を順序として, 順序集合という意味で圏とみなせます. 函手 ${F : \mathcal{O}(X)^\mathrm{op}\to\mathbf{Set}}$ を前層(presheaf) と言います.

${X}$ の開集合 ${U, V}$ に対して ${V\subset U}$ のとき, これに対応する ${\mathcal{O}(X)^\mathrm{op}}$ でのただ一つの射 ${U\to V}$ に対して前層 ${F}$ が定める ${FU}$ から ${FV}$ への(集合間の)写像が決まりますが, この写像による ${t\in FU}$ の像を ${t|_V}$ と表すことにします.

${U = \bigcup U_i}$ のとき
${p : \prod_i FU_i\to\prod_{i, j}F(U_i\cap U_j), q : \prod_j FU_j\to\prod_{i, j}F(U_i\cap U_j)}$
を
${p\langle t_i\rangle = \langle t_i|_{U_i\cap U_j}\rangle, q\langle t_j\rangle = \langle t_j|_{U_i\cap U_j}\rangle\quad (t_i\in FU_i)}$
で定め, ${e : FU\to\prod_i FU_i}$ を ${e(t) = \langle t|_{U_i}\rangle}$ で定めます.