楽しい圏論(その 16) - Red cat の数学よもやま話・新装開店

対象間の射と自然変換の関係

${C}$ の対象は函手 ${x : \mathbf{1}\to C}$ とみなせますが, このとき ${x : \mathbf{1}\to C}$ から ${y : \mathbf{1}\to C}$ への自然変換とは, 射 ${f : x\to y}$ のことに他なりません.

以前, 自然変換の水平合成を定義していましたね.
mathneko.hatenablog.com

これによれば, 函手 ${F : C\to D}$ から ${G : C\to D}$ への自然変換 ${\tau : F\stackrel{\bullet}{\to} G}$ における ${\tau_x : Fx\to Gx}$ は ${\tau_x = \tau\star x}$ と書くこともできます.

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自然同型と逆変換

函手 ${F : C\to D}$ から ${G : C\to D}$ への自然変換 ${\tau : F\stackrel{\bullet}{\to} G}$ が自然同型であるとは各 ${\tau_x = \tau\star x : Fx\to Gx}$ が( ${D}$ の対象間の射として)同型射であることと定義されますが, このとき ${\tau^{-1}\star x := (\tau\star x)^{-1}}$ と定義することで自然変換 ${\tau^{-1} : G\stackrel{\bullet}{\to} F}$ が得られます. このとき明らかに ${\tau^{-1}\circ\tau = 1_F, \tau\circ\tau^{-1} = 1_G}$ となっています.