Red cat の数学よもやま話・新装開店

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あの有名問題を積分で解く

3年ぶりのブログ更新です.

かつて東大の入試問題に「\pi \gt 3.05 を示せ」という問題が出題されたことは周知の事実かと思いますが, 通常は図形を使って示すのですが, 今回は積分を使って示してみたいと思います.

0 \lt x \lt 1 のとき \dfrac{1}{1 + x^2} \gt 1 - x^2 \gt 0 となることは良いと思います. と言っても, 0 から 1 まで積分するのは評価が緩くなりすぎてしまうので, 0 から \dfrac{1}{\sqrt{3}} = \tan \dfrac{\pi}{6} まで積分をしてみましょう.

I = \displaystyle\int_0^\frac{1}{\sqrt{3}} \frac{dx}{1 + x^2}, J = \displaystyle\int_0^\frac{1}{\sqrt{3}} (1 - x^2)dx と置くと, 明らかに I \gt J です.

\begin{align}
I &= \int_0^\frac{\pi}{6} d\theta \\
  &= \frac{\pi}{6}, \\
J &= \left[ x - \frac{x^3}{3} \right]_0^\frac{1}{\sqrt{3}} \\
  &= \frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{1}{9\sqrt{3}} \\
  &= \frac{8\sqrt{3}}{27}
\end{align}

なので \dfrac{\pi}{6} \gt \dfrac{8\sqrt{3}}{27} が分かります. つまり \pi \gt \dfrac{16\sqrt{3}}{9} です.

\dfrac{16}{9} \gt 1.77, \sqrt{3} > 1.73 で下から見積もると \pi \gt 1.77 \times 1.73 = 3.0621 なので, \pi > 3.06 と, 題意よりも強い結果が得られました!

追記 : \dfrac{16\sqrt{3}}{9} をもう少し正確に計算すると 3.0792\dots となるので, 実は \pi \gt 3.07 が分かります.